1111 al quadrato fa 1234321: la sorprendente proprietà palindroma dei numeri di Repunit

Come si fa a calcolare al volo il quadrato del numero 11111? Niente di più facile, basta saper contare fino a 5 andata e ritorno: il risultato è infatti 123454321. E il quadrato di 111? Allo stesso modo basta scrivere le cifre da 1 a 3 andata e ritorno, il risultato sarà proprio 12321. Con questo trucco possiamo facilmente calcolare i quadrati di numeri enormi come 111111111, ma non è magia: si tratta infatti di una proprietà matematica dei numeri Repunit – coniato dal matematico Albert H. Beiler nel 1966 – cioè numeri composti esclusivamente dalla cifra 1 ripetuta, spiegabile facilmente con le moltiplicazione in colonna. Vediamo perché il trucco funziona e quali sono i suoi limiti.

I Repunit sono numeri costituiti dalla cifra 1 ripetuta più volte, come 1111, e se li eleviamo al quadrato otteniamo dei numeri palindromi, ovvero simmetrici, secondo questa regola:

se il numero ha n cifre basta scrivere uno accanto all’altro i numeri da 1 fino ad n e poi proseguire scendendo fino ad uno

ad esempio il numero 1111 è di 4 cifre quindi scriviamo uno accanto all’altro i numeri da 1 ad 4, ottenendo 1234, e proseguiamo scendendo fino ad 1: il risultato finale, il quadrato di 1111, è quindi 1234321.

Per capire perché questo trucco funziona possiamo aiutarci calcolando la moltiplicazione in colonna. Nella figura sotto, per calcolare il quadrato di 1111, abbiamo svolto la moltiplicazione in colonna di 1111×1111. Come si può vedere, poiché la prima cifra del moltiplicatore (il secondo fattore) è 1, la prima riga dello svolgimento del calcolo è costituita da 4 numeri 1, esattamente come il numero da cui siamo partiti. Anche la seconda cifra del moltiplicatore è 1 per cui anche la riga sottostante è costituita da 4 numeri 1, ma è spostata di una colonna a sinistra. Proseguendo scriviamo 4 righe, tutte costituite da 4 numeri 1 e ciascuna sfalsata di una colonna a sinistra rispetto a quella che la precede. In questo modo si formano 4 righe e sette colonne e le sette colonne hanno una configurazione simmetrica: quella centrale ha 4 numeri 1, le due laterali ne hanno 3, poi 2, fino alle colonne più esterne che hanno un solo numero 1 ciascuna. Per via di questa configurazione quando sommiamo i numeri in colonna otteniamo 1 per la prima colonna da destra, poi 2 per la seconda (evidenziata in blu), 3 per la terza, poi 4 per la quarta (in rosso), ma dalla colonna successiva si comincia a scendere per via dello sfalsamento così che otteniamo i risultati 3, 2 e 1.

Una volta capito come funziona questo trucco possiamo calcolare velocemente il quadrato di numeri anche molto grandi, ad esempio abbiamo calcolati i quadrati dei numeri Repunit fino a 9 cifre:

• il quadrato di 11 è 121
• il quadrato di 111 è 12321
• il quadrato di 1111 è 1234321
• il quadrato di 11111 è 123454321
• il quadrato di 111111 è 12345654321
• il quadrato di 1111111 è 1234567654321
• il quadrato di 11111111 è 123456787654321
• il quadrato di 111111111 è 12345678987654321

Ma che succede se proviamo ad andare oltre le nove cifre? Il trucco funziona lo stesso con 1111111111 che ha 10 cifre? Verrebbe da pensare di si, ma in matematica se una cosa è vera per un certo numero di casi non significa che debba essere vera anche per tutti gli altri casi. In generale un fatto matematico non è vero finché non è dimostrato e nel nostro caso, in effetti, per i numeri di 10 o più cifre il trucco non funziona più perché durante il calcolo della moltiplicazione in colonna si generano dei riporti che fanno sballare i conti.

Vediamo cosa succede con il quadrato di 1111111111, il numero Repunit di 10 cifre. Durante lo svolgimento del calcolo in colonna (vedi figura sotto) fila tutto liscio con le prime 9 cifre da destra, che sembrano proprio quelle giuste 987654321, ma quando arriviamo alla 10° colonna dobbiamo riportare 1 nella colonna successiva e poi ancora 1 in quella successiva. La conseguenza è che il risultato finale è il numero 1234567900987654321 che non è dello stesso tipo dei risultati ottenuti sopra, infatti nella parte sinistra del numero è scomparso l’8 tra il 7 ed il 9. Il trucco magico del quadrato di 1111 e dei suoi simili, quindi, funziona solo per quelli fino a 9 cifre.

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