Dal numero di Graham al googolplex, i numeri più grandi conosciuti mai “inventati”

Quale è il numero più grande del mondo? Come sappiamo è una domanda che in verità non ha molto senso, visto che se esistesse un numero più grande di tutti, potremmo sempre superarlo aggiungendo 1. Tuttavia esistono alcuni grandi numeri che si contendono il titolo di numero più grande mai “inventato”, cioè per cui abbiamo inventato un nome. Si tratta di numeri enormi come il googol, il googolplex, il numero di Graham, il numero di Rayo, e il numero TREE(3). Alcuni di questi numeri sono così grandi che per scriverli per esteso non basterebbe tutto lo spazio dell'universo. Vediamo quanto sono grandi, e quale tra di loro è il più grande di tutti.

Il googol

Un googol è uguale a 10¹⁰⁰, cioè 1 seguito da 100 zeri e deve il suo nome al matematico Edward Kasner che, intorno al 1930, lo chiamò così su suggerimento del nipotino di 9 anni. Possiamo subito notare che googol assomiglia moltissimo a Google, e non è un caso! Gli inventori del famoso motore di ricerca, si ispirarono proprio a googol, per dare l'idea dell'immensa quantità di informazioni che Google avrebbe portato alla mano di chiunque.

Apparentemente un googol non è enorme, e infatti è il minore dei numeri che vedremo in questo articolo, ma se proviamo a confrontarlo con cose che conosciamo ci rendiamo conto di quanto per la nostra "percezione umana" sia comunque enorme! Considerate che si stima che nell'Universo ci siano circa 10⁸⁰ particelle. Questo significa che il numero googol è 10²⁰ volte, cioè 100 miliardi di miliardi di volte, tutte le particelle del nostro Universo.

Il googolplex

Il googolplex venne inizialmente definito, sempre da Kasner, come

1 seguito da tanti zeri quanti ne riusciamo a scrivere prima di stancarci.

Questa definizione rende abbastanza l’idea di un numero enorme, troppo grande per essere scritto per esteso, ma è un po' vaga ed è stata migliorata, sempre da Kasner, che lo ha definito:

1 seguito da un googol di zeri, cioè 10^googol

Questo numero, nel 1940, venne registrato nel Guinness dei record come "il numero più grande a cui fosse stato dato un nome" (oggi non è più così), ed è talmente grande che, stando a Kasner stesso e al suo collega James Newman, la distanza che c’è tra noi e la stella più lontana, andata e ritorno, non basterebbe per scrivere tutti gli zeri di questo numero.

Numero di Graham

Il googol e il googolplex sono grandi, ma non sono nulla in confronto al numero di Graham: questo numero è talmente grande che in tutto l’Universo conosciuto non c’è abbastanza spazio per scrivere tutte le sue cifre.

Si tratta di un numero nato come soluzione ad un problema nell'ambito della teoria di Ramsey, un particolare ramo della matematica, e nel 1980 è entrato nel Guinness dei primati come “il più grande numero che sia stato usato in una dimostrazione matematica”. La sua grandezza sta quindi, anche, nel ruolo attivo che ha giocato in matematica.

Il numero di Graham, diversamente dagli altri numeri che abbiamo visto, non ci è completamente noto. Del googol e del googolplex conosciamo tutte le cifre – anche perché si tratta semplicemente di 1 e 0 – ma del numero di Graham non conosciamo tutte le cifre. Tuttavia sappiamo che è un multiplo di 3 e che esiste un algoritmo che permette di calcolare le ultime cifre, ad esempio le ultime 500, che sono pochissime nella totalità immensa delle sue cifre, sono quelle rappresentate nella figura sotto.

I numeri di Rayo

Come abbiamo già accennato un numero più grande di tutti non può esistere, ma esistono dei numeri, i numeri di Rayo, che sono talmente grandi che per descriverli non ci bastano i simboli matematici che abbiamo a disposizione. Ma in che senso? Abbiamo visto che il googolplex è troppo grande per essere scritto per intero, ma possiamo rappresentarlo come potenza, cioè 10^googol. Analogamente esistono delle notazioni, cioè dei modi di scrivere i numeri, che permettono di scrivere l’immenso numero di Graham usando una quantità relativamente piccola di simboli. Ci si può allora chiedere, semplificando un po', se

esiste un numero così grande che non sia possibile descriverlo con nessuna nessuna scrittura matematica di lunghezza data?

Questa è l’idea con cui il filosofo messicano Agustin Rayo nel 2007 vinse una gara a chi inventava il numero più alto, contro il collega Adam Elga. Un numero di Rayo, intuitivamente, è

il più piccolo numero che non può essere descritto con una data quantità di simboli matematici.

Fissato un numero di simboli che vogliamo usare, esiste un numero di Rayo più grande di tutti i numeri esprimibili con quel numero di simboli. In pratica questi numeri sono più grandi del googol, del googolplex e anche del numero di Graham, ma, ovviamente, possiamo sempre aggiungere 1 anche a questi numeri e superarli.

Il numero TREE(3)

Concludiamo con il TREE(3), un numero apparentemente innocuo ma veramente enorme. Tutto nasce dal gioco, Game of Trees in cui, seguendo delle regole, si disegnano alberelli stilizzati marcando la base, le foglie e le biforcazioni degli alberi con pallini colorati. TREE(3) corrisponde al numero di alberi diversi che si possono realizzare seguendo le regole del gioco ed usando fino a 3 colori per i pallini. Nell'immagine sotto si possono vedere degli esempi di alberi costruiti seguendo le regole del gioco.

La cosa sorprendente è che, nonostante servano solo pochi pennarelli colorati per giocare a Games of Trees, il numero TREE(3) è talmente grande che, in un certo senso, non siamo neanche in grado di descrivere quanto sia grande. Sappiamo, infatti, che è un numero finito e che è possibile dimostrare che è finito, ma di fatto non possiamo dimostrarlo perché per scrivere tale dimostrazione servirebbe una quantità così grande di simboli che per scriverli tutti non basterebbe l'intera vita dell'universo, passata e futura prevista. Un numero enorme, quindi, ma che può essere scritto con un numero finito di simboli e quindi esistono dei numeri di Rayo che lo superano.

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