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I numeri divisibili per 11 sono facilissimi da identificare. Esiste infatti un criterio di divisibilità molto semplice, un trucchetto matematico!
Tutti noi sappiamo che i multipli di 11 sono inizialmente molto semplici, perché sono composti da due cifre che si ripetono: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Ma le cose si complicano con i numeri più grandi di 100 e diventa complesso individuare nuovi multipli. Basti considerare che il numero 111 non è multiplo di 11 nonostante le sue cifre siano tutte uguali.
Insomma, quando le cifre in gioco diventano più di 2, può diventare piuttosto difficile capire al volo se sono multipli di 11… a meno che non si conosca il segreto del numero 11: un criterio di divisibilità facile come sommare e sottrarre numeri ad una cifra.
Il numero 111, dicevamo, non è multiplo di 11 e possiamo capirlo dal fatto che 11 × 10 = 110 e per trovare il successivo multiplo di 11 dobbiamo arrivare a 110 + 11 che fa 121. In altri casi è più complicato capire al volo se abbiamo a che fare con multipli di 11, ad esempio uno solo tra 539 e 544 è divisibile per 11 ma non è facile capire al volo quale dei due. A questo proposito ci viene in aiuto il criterio di divisibilità per 11 che dice:
Un numero è divisibile per 11 se e solo se la somma alternata (cioè alterno somma e sottrazione) delle cifre del numero, dalla prima all’ultima (o dall’ultima alla prima), vale 0 o è multiplo di 11 (positivo o negativo).
Quindi, per capire se 539 è multiplo di 11 calcoliamo 5 – 3 + 9 = 11 che è il primo numero della tabellina dell’11, di conseguenza 539 possiamo dire che è un multiplo di 11 e può essere diviso per 11 senza resto, infatti, 539 = 49 × 11 e 539 ÷ 11 = 49 con resto 0.
Per quanto riguarda, invece, il numero 544 la somma alternata delle cifre è 5 – 4 + 4 = 5 che non è nella tabellina dell’11, quindi possiamo stare certi che 544 non è divisibile per 11: la divisione 539 ÷ 11, infatti, non dà come resto 0 ma dà resto 5 per cui 544 non è multiplo di 11.
Qualche volta il risultato della somma alternata delle cifre viene negativo, ma non è un problema, basta togliere il segno meno e controllare se quello che rimane è multiplo di 11, ad esempio per il numero 2759 la somma alternata è 2 – 7 + 5 – 9 = – 9 e 9 (senza segno meno) non è multiplo di 11 quindi neanche 2759 lo è.
In alcuni casi, se il numero è molto grande, la somma alternata può dare un risultato grande non immediatamente riconoscibile come multiplo o meno di 11, e possiamo cavarcela reiterando la procedura.
Ad esempio nel caso del numero 9190909090909090909191919191919191, di ben 34 cifre, la somma alternata è 9 – 1 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 0 + 9 – 1 + 9 – 1 + 9 – 1 + 9 – 1 + 9 – 1 + 9 – 1 + 9 – 1 + 9 – 1 = 144 ma 144 non è immediatamente riconoscibile come multiplo o meno di 11: nessun problema, basta andare avanti calcolando anche la sua somma alternata 1 – 4 + 4 = 1 da cui concludiamo che 144 non è divisibile per 11 perché 1 non è multiplo di 11.
Ma perché il criterio funziona? Possiamo vederlo con un esempio trasformando un po' il numero 539 che è multiplo di 11:
- 539 è la somma di 500 + 30 + 9 che è uguale a 5 × 100 + 3 × 10 + 9
- notiamo però che 100 = 99 + 1 e 10 = 11 – 1, quindi possiamo dire che 539 = 5 × (99 + 1) + 3 × (11 – 1) + 9
- a questo punto le regole di calcolo permettono di moltiplicare il numero fuori dalle parentesi con i numeri che stanno dentro le parentesi (proprietà distributiva), quindi otteniamo 539 = 5 × 99 + 5 ×1 + 3 × 11 – 3 × 1 + 9
- infine cambiamo l'ordine degli addendi per arrivare a 539 = 5 × 99 + 3 × 11 + 5 – 3 + 9
Il numero 539, quindi, è dato dalla somma di 5 × 99 e 3 × 11, che sono multipli di 11 e di, e di 5 – 3 + 9 che non è altro che la somma alternata delle cifre del numero stesso e che in questo caso fa 11. In sostanza 539 è dato dalla somma di 3 numeri multipli di 11 e quindi è divisibile per 11. Al contrario nel caso del numero 544, facendo lo stesso tipo di calcolo, troviamo 544 = 5 × 99 + 4 × 11 + 5 ma 5 non è multiplo di 11 e così non può esserlo neanche il risultato che otteniamo sommandolo a 5 × 99 e 4 × 11, che sono multipli di 11.
