Come spiegare i limiti in modo semplice: la matematica nella vita di tutti i giorni

Quando sentiamo "matematico", spesso ci spaventiamo: sembra qualcosa di incomprensibile! Ma la matematica, in verità, descrive la realtà che ci circonda, dobbiamo solo imparare a interpretarla nel modo giusto. Prendiamo un esempio: i limiti matematici. Quando li abbiamo studiati a scuola possono esserci sembrati astratti e poco utili; i limiti rappresentano un concetto astratto che descrive il comportamento di una funzione in prossimità di un punto o all'infinito e studiarli permette di comprenderne l’andamento in queste condizioni. In realtà, i limiti possono aiutarci a descrivere situazioni concrete in cui stiamo osservando qualcosa che continua a cambiare e vogliamo capirne le sorti dopo un po' di tempo. Approfondiremo esempi come quello della crescita dei tulipani, e delle città che cambiano nel corso dei secoli, fino a discutere il moto di una boa nel mare, tutto usando i limiti!

Il limite è un concetto che descrive il comportamento di una funzione o di una successione in prossimità di un punto o all'infinito. Studiare i limiti permette di comprenderne l’andamento in queste condizioni, fornendo un’analisi più precisa.

I limiti matematici nella vita reale: l'esempio del tulipano

Che cos'è un limite matematico? Beh, è sicuramente un concetto astratto, teorico, che ci aiuta a studiare le funzioni. Ma… possiamo capirlo basandoci sulla vita reale? Pensiamo a questa situazione: siamo a scuola e stiamo aspettando che suoni la campanella per essere "finalmente liberi". È capitato a tutti di guardare l’orologio con impazienza, e più guardiamo l’orologio e più il suono della campanella sembra allontanarsi. Sembra che la lancetta dei minuti cerchi di completare il giro senza riuscirci: più guardiamo l’orologio e più sembra rallentare. Situazioni come queste si possono descrivere usando il limiti. Capiamo di cosa si tratta con qualche esempio. 

Avete mai osservato una piantina, per esempio un tulipano, crescere giorno dopo giorno? All'inizio la vediamo spuntare dal terreno e appare solo come un puntino verde. Poi giorno per giorno la vediamo crescere fino a raggiungere la sua altezza massima, cosa che solitamente accade in aprile, quando il fiore si apre in tutto il suo splendore. Usando il linguaggio matematico possiamo dire che

quando la data tende ad Aprile il tulipano tende alla sua altezza massima, mentre quando la data tende a Maggio il tulipano tende ad appassire.

Quello che abbiamo appena fatto, è stato descrivere un limite matematico! Se infatti al posto di "tendere" usiamo il concetto di limite, possiamo dire che:

il limite del tulipano quando la data tende ad Aprile è la fioritura, mentre il limite del tulipano quando la data tende a Maggio è l'appassire.

Descrivere una cosa che cambia guardando allo stato finale a cui tende, è una delle idee chiave del concetto di limite e lo possiamo ritrovare in molte situazioni di vita reale, non ci credete? Ecco degli esempi: quando l’orario di servizio tende al termine, l’autobus tende al capolinea; quando la nostra fame tende al massimo, noi tendiamo al frigorifero; quando il sonno tende al massimo noi tendiamo al letto, e chi più ne ha più ne metta. Questo ci suggerisce che i limiti possono essere visti come un processo di approssimazione sempre più accurato: chi parla il "matematichese" sa che questo concetto è proprio presente dentro alla definizione formale di limite. Se riprendiamo in mano l'esempio del tulipano, infatti, potremmo chiederci: “Quanto devo avvicinarmi ad Aprile affinché l’altezza sia quella definitiva e la pianta fiorisca?”.

Quello che abbiamo appena visto è il caso in cui un limite tenda a un momento preciso, cioè a una quantità finita. Ma cosa succede quando un limite tende all'infinito?

Quando il limite tende all'infinito

Consideriamo ora una serie di cartine che rappresentano la stessa città nell'arco dei secoli. Possiamo verificare come cambia la forma della città al passare degli anni e quindi la forma a cui essa “tende” quando gli anni “tendono al 2025”, cioè un limite finito, come già descritto. Ma possiamo anche provare ad immaginare la forma a cui tenderà fra cento anni: sarà difficile prevederlo, ma se ad esempio la città si trova sul mare possiamo prevedere che tenderà ad espandersi dal lato opposto a questo. Se poi immaginiamo che la città sia eterna (come Roma…) possiamo immaginare la forma a cui tenderà tra milioni di anni ed oltre. Detto in termini matematici, ci stiamo immaginando il limite della forma della città quando il tempo tende ad infinito.

Con la parola limite, infatti, i matematici si riferiscono in qualche modo al punto di arrivo di un processo che “tende a qualcosa”, un punto di arrivo che non necessariamente si raggiunge in un tempo finito, ma che può anche essere raggiunto in un tempo infinito.

Un esempio geometrico, che rende visivamente l’idea di questo concetto è quello della figura in alto. Prendiamo come primo passo una lineetta (un segmento) verticale e ci attacchiamo due lineette, leggermente più corte che formino una diramazione in alto, come se si trattasse un albero. Come secondo passo attacchiamo due nuove lineette, ancor più piccole, ad ognuna delle lineette più piccole. Possiamo ripetere questa operazione molte volte. Passo dopo passo il disegno inizia ad assumere una forma che somiglia sempre più alla forma finale, quella a cui tenderà quando il numero dei passi tenderà ad infinito. Questo tipo di figura geometrica si chiama frattale.

Una cosa interessante di questo esempio è che quando il numero di passi tende a infinito, da un lato si ha che l’immagine tende ad una figura ben precisa come potete vedere nell'immagine, ma dall’altro si ha che il numero di lineette è sempre più grande. Ma com'è possibile? Questo accade perché nonostante le lineette continuino ad aumentare all'infinito, la loro lunghezza diventa sempre più piccola, talmente piccola da sembrare di non dare un contributo all'estensione dell'albero. Si dice in questo caso che la lunghezza delle nuove lineette diventa infinitesimale e la funzione che descrive l'albero che abbiamo disegnato ha un asintoto, cioè un valore massimo che non verrà mai né raggiunto, né superato.

Non è sempre possibile trovare un limite

Ma è sempre possibile prevedere le sorti di qualcosa che stiamo osservando? Verrebbe da pensare di sì, ma non è così semplice. Esistono infatti fenomeni che non tendono a stabilizzarsi verso qualcosa di preciso.

Osserviamo, ad esempio, l'altezza a cui si trova una boa che galleggia nel mare: se è una giornata di mare calmo l'altezza della boa sarà stabile, ma se c’è mare mosso salirà e scenderà seguendo il ritmo delle onde. Se ci chiediamo a che altezza tenderà la boa fra 10 anni, 1000 anni o infiniti anni, non possiamo prevederlo perché periodicamente capiterà che il mare sarà mosso e la boa continuerà a oscillare, muovendosi su e giù. Analogamente, non possiamo stabilire il limite a cui tende la fase della luna nel cielo, perché oscilla continuamente tra piena e nuova (quando cioè non è visibile) senza mai fermarsi. In questi casi diremo che i limiti dell’altezza della boa e della fase lunare non esistono o, detto in "matematichese", non convergono.

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