Il problema delle 12 monete, della bilancia e delle 3 pesate: ecco la soluzione all’indovinello

Nell'indovinello delle 12 monete, ad alcuni prigionieri viene data una possibilità di guadagnarsi la libertà: devono superare una difficile prova di logica. Vengono posti davanti a dodici monete, un pennarello e una bilancia a due piatti. Sanno che le monete hanno tutte lo stresso peso, tranne una che è falsa e per questo ha un peso diverso dalle altre, ma non sanno se sia più leggera o più pesante. Ed ecco la sfida: individuare la moneta falsa in sole 3 pesate. Chi sbaglia verrà rimandato in prigione. Chi riesce, riceverà la libertà e un bottino in monete d’oro.

Come faranno i prigionieri ad individuare la moneta contraffatta? Vediamolo insieme.

La soluzione all'indovinello delle 12 monete

Se i detenuti avessero a disposizione tutte le pesate che vogliono, la soluzione più semplice sarebbe pesare una moneta alla volta e confrontarle tra loro: la moneta più leggera o più pesante verrà subito individuata. I prigionieri, però, hanno a disposizione solo tre pesate! Quello che dovranno fare, allora, è dividere le monete in sottogruppi e confrontare questi sottogruppi tra loro, restringendo man mano il campo dei sospetti. Vediamo come.

Iniziamo dividendo le 12 monete in tre gruppi da 4. Scriviamo poi un numero su ciascuna moneta (da 1 a 12) e confrontiamo tra loro due gruppi. Ad esempio, confrontiamo le monete 1-2-3-4 con le monete 5-6-7-8 lasciando fuori le monete 9-10-11-12.

A questo punto, possono succedere due cose: i due gruppi hanno lo stesso peso o oppure i due gruppi hanno un peso diverso. Iniziamo dal primo caso.

Primo caso: i due piatti si bilanciano

Se le monete 1-2-3-4 pesano quanto le monete 5-6-7-8 vuol dire che le 8 monete pesate sono autentiche e identiche perché hanno lo stesso peso, quindi la falsa si deve trovare per forza tra le quattro rimaste fuori, 9-10-11-12. A questo punto, ne prendiamo 3 tra le 4 rimaste fuori – ad esempio, 9-10-11 – e le confronto con tre delle otto monete autentiche, ad esempio 1-2-3. Se i due gruppi si bilanciano, allora la moneta falsa dev’essere l’unica che moneta che non è mai salita sulla bilancia, cioè la moneta lasciata da parte del terzo gruppo, nel nostro caso la 12. In questo modo, con sole due pesate, abbiamo trovato la moneta contraffatta.

Se invece alla seconda pesata i due piatti non si bilanciano, sappiamo che tra le 6 monete sul piatto c'è la moneta falsa. Abbiamo quindi a disposizione ancora una pesata e sappiamo che la moneta falsa dev’essere tra le 3 comparse nella seconda pesata, cioè la 9, la 10 e la 11. Questo perché le monete 1-2-3-4 pesavano uguale alle monete 5-6-7-8 e quindi siamo sicuri che siano vere. Prima di toglierle le monete incriminate dalla bilancia, vediamo se le tre monete 9-10-11 pesano di più o di meno delle tre monete vere 1-2-3 e segniamo questa informazione scrivendo un “+” se la 9, la 10 e la 11 pesano di più o un “-” se pesano di meno.

A questo punto, prendiamo due delle monete “sospette”, ad esempio la 9 e la 10, e le pesiamo, confrontandole tra loro. Se la 9 e la 10 pesano uguale, allora la moneta falsa sarà la 11. Se, invece, hanno un peso diverso, sappiamo che una delle due sarà quella falsa, ma quale? Per capirlo, guardiamo i segni che avevamo fatto sulle monete. Se avevamo segnato “+”, vuol dire che la moneta contraffatta è più pesante delle altre e quindi la moneta falsa è quella che pesa di più tra la 9 e la 10. Se avevamo segnato “-”, invece, la moneta contraffatta è più leggera delle altre e quindi la moneta falsa è quella che pesa di meno tra la 9 e la 10.

In questo modo in sole tre pesate abbiamo trovato la moneta falsa. Ma come facciamo se alla prima pesata i due gruppi non sono bilanciati? Vediamo il secondo caso.

Secondo caso: i due piatti non si bilanciano

Se le monete 1-2-3-4 hanno un peso diverso dalle monete 5-6-7-8, la moneta contraffatta si troverà sicuramente tra queste 8. Per capire qual è, iniziamo scrivendo un “+” sulle monete del gruppo più pesante tra i due, ad esempio 1-2-3-4, e un “-” sul gruppo più leggero, ad esempio 5-6-7-8. Sulle monete che sono restate fuori dalla pesata (9-10-11-12) scriviamo una “V” per ricordarci che quelle monete sono sicuramente vere.

Ora ci serve una strategia per trovare la moneta falsa in sole due pesate. Per farlo, dobbiamo mescolare i gruppi. Esistono diversi modi per farlo, ma il concetto che si segue è simile, vediamone uno. Prendiamo tre monete con il segno “-” sopra, per esempio le 5-6-7, e le sostituiamo a tre di quelle con il segno “+”, creando così il gruppo 1(+) 5(-) 6(-) 7(-). Poi, prendiamo la moneta numero 8, l’ultima rimasta con il “-” sopra, e le aggiungiamo altre tre monete vere, creando il gruppo 8(-) 9(V) 10(V) 11(V).

A questo punto, pesiamo i due nuovi gruppi e vediamo cosa succede. Ci sono tre possibilità:

1. il gruppo che prima pesava di più continua a pesare di più;
2. il gruppo che prima pesava di più ora pesa meno;
3. i gruppi hanno lo stesso peso.

Se il gruppo 1(+) 5(-) 6(-) 7(-) è ancora il più pesante, vuol dire che o la moneta numero 1 è quella contraffatta ed è più pesante delle altre, oppure lo è la numero 8 ed è più leggera delle altre. Per scoprire quale sia, facciamo ancora una pesata confrontando la 1 con una moneta normale: se sono uguali, allora la contraffatta è la 8; se pesano diversamente, allora la contraffatta è la 1. In ogni caso, in tre pesate abbiamo risolto.

Se, invece, il gruppo 1(+) 5(-) 6(-) 7(-) ora è diventato più leggero, questo vuol dire che una delle tre monete che ho spostato è quella contraffatta ed è più leggera delle altre. Quindi, la moneta falsa è la 5, la 6 o la 7. Facciamo, allora, l’ultima pesata confrontando la moneta 5 con la 6. Se sono uguali, la 7 è la moneta falsa. Se pesano diversamente, quella più leggera delle due è falsa.

Se i due gruppi ora hanno lo stesso peso, allora le monete 1-5-6-7-8-9-10-11 sono tutte vere e quella falsa dev’essere tra quelle che ho tolto dal gruppo 1-2-3-4. Cioè, la falsa sarà la 2, la 3 oppure la 4, e sarà più pesante delle altre. Confronto quindi la moneta 2 con la 3: se sono uguali, la 4 è la moneta falsa. Se pesano diversamente, quella più pesante delle due è falsa.

In ogni caso, con sole tre pesate, siamo riusciti a trovare la moneta contraffatta.