0,9999… e 1 sono uguali! Per molte persone è difficile da accettare, ma è così: 0,9 (0,9 periodico), cioè 0,9999… con infiniti 9 dopo la virgola, e 1 sono lo stesso numero reale. O meglio, sono due rappresentazioni diverse della stessa quantità. A leggere questa uguaglianza 0,9999… = 1, viene da pensare che ci sia qualche errore, perché 0,9 deve per forza essere più piccolo di 1, essendo un numero decimale formato da 0, … ma esistono diverse dimostrazioni intuitive che ci possono aiutare a comprendere questa uguaglianza.
1. Se 1/3 = 0,3333… allora 1 = 0,9999…
Siamo tutti a conoscenza del fatto che 1/3 faccia 0,3 periodico. Si tratta infatti della scrittura dello stesso numero, prima in forma frazionaria e poi in forma decimale. Ecco, partendo da questa uguaglianza possiamo notare che
Lo stesso ragionamento possiamo farlo con 1/9, che se scritto in decimali è uguale a 0,1111… e che, se moltiplicato per 9, dà come risultato 1, portando alla stessa conclusione di sopra, cioè che 0,9999… è uguale a 1.
2. 1 – 0,9999… dà come risultato 0
Se proviamo a sottrarre 0,9 periodico a 1, il risultato è 0. Intuitivamente, potremmo essere portati a pensare che questa sottrazione dia come risultato un numero, seppur piccolissimo, comunque diverso da 0 e che abbia la forma 0,0000….001. Quello che dobbiamo considerare, però, è che 0,9 periodico ha infiniti 9 dopo la virgola! Questo significa che, in qualunque posizione proviamo a posizionare quel singolo 1, ci sarà sicuramente un 9 nella sottrazione che lo fa "slittare di posto". Insomma, quell'1 "di differenza" non arriverà mai, e il risultato dell'operazione sarà proprio 0.
3. L'equazione che porta all'uguaglianza
Un altro tipo di dimostrazione ci mostra come, impostando una semplice equazione, si arrivi proprio all'uguaglianza che desideriamo. Partiamo con il definire x = 0,9999… e consideriamo che 10x = 9,9999… perché, nella moltiplicazione per 10, è sufficiente spostare la virgola di una sola posizione. A questo punto con una semplice sottrazione, otteniamo quanto segue:
Quindi siamo partiti da x= 0,9999… per arrivare a x = 1, da cui l'uguaglianza.
4. Le altre dimostrazioni
Le dimostrazioni, comunque, sono innumerevoli, dalle più matematicamente rigorose alle più intuitive, come quelle che abbiamo appena visto. Invitiamo i più curiosi a visitare il link nelle fonti.
;Resize,width=578;)
