Cos’è la clotoide stradale, l’elemento matematico che serve per la sicurezza dei tracciati stradali

La clotoide (detta anche spirale di Eulero o spirale di Cornu) è una nota curva geometrica del piano dotata di particolari caratteristiche che la rendono utilizzabile nella progettazione stradale per garantire la giusta sicurezza, sia al tracciato che al guidatore. Le curve in un tracciato stradale, infatti, non sono circolari. O meglio, non del tutto. C'è un sacco di matematica dietro una semplice strada: la conformazione geometrica finale di una curva si allontana sensibilmente dall'immaginario collettivo che vede le curve come perfettamente circolari. Nel caso specifico, la forma che effettivamente viene utilizzata per creare fisicamente una parte di curva è appunto la clotoide.

Cos'è la clotoide e come si usa per calcolare il raggio di una curva

La clotoide è visivamente rappresentata su un piano cartesiano da una sorta di filo arrotolato attorno a due punti, di modo da formare due spirali. La caratteristica di questa particolare curva è quella di avere una curvatura che varia linearmente lungo la sua lunghezza! Questo aspetto è fondamentale in ottica di progettazione stradale e ora capiremo perché.

La curvatura, in geometria differenziale, è definita come l‘inverso del raggio di curvatura (1/r). Cos'è il raggio di curvatura? Rappresenta una misura appunto della curvatura nel vero senso della parola, ovvero della tendenza che ha una curva di discostarsi da un andamento rettilineo. Geometricamente, rappresenta il raggio della circonferenza che è tangente alla curva in un dato punto di interesse. Visivamente, il raggio di curvatura di una circonferenza infatti coincide proprio con il suo raggio. Per una generica curva invece è leggermente più complicato trovarne velocemente una rappresentazione grafica. Il caso estremo è rappresentato da una retta: in questo caso il raggio di curvatura è infinito! Fisicamente, vuol dire che per misurare la tendenza della retta di "curvarsi" dovremmo prendere un cerchio grandissimo, qualsivoglia sia il punto che scegliamo in partenza, tanto grande da avere un raggio pari ad infinito, il che ovviamente ci da concretamente la misura del fatto che una retta non ha tendenza a curvarsi!

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La matematica della clotoide

La clotoide è descritta da una specifica funzione matematica e la sua equazione può essere scritta nel seguente modo, in maniera abbastanza semplice:

A² = r · t

Cosa ci dice? Per ogni punto che prendiamo sulla curva, il prodotto tra la lunghezza della curva fino al punto esaminato (t nell'equazione) e il raggio di curvatura nel punto esaminato (r nell'equazione) è costante e pari al quadrato di A, chiamato parametro della clotoide. Ne viene da se che, affinché A si mantenga costante, variando la lunghezza del tratto di interesse deve necessariamente variare il valore del raggio di curvatura, punto per punto lungo la curva. Dall'equazione è chiaro anche quanto detto in precedenza. Se portiamo il raggio di curvatura a sinistra dell'equazione e spostiamo il parametro A a destra, otteniamo questa forma:

1/r = t · (1/A²)

ovvero che la curvatura (1/r) dipende linearmente dalla lunghezza della curva (t)!

Perché si utilizza la clotoide e dove si trova

Immaginiamo di stare in auto e dover affrontare una curva circolare. Se abbiamo ora capito il concetto di raggio di curvatura (o di curvatura), ci sarà semplice capire che nel percorrere il tracciato ci si ritroverebbe di fronte ad una discontinuità geometrica, perché si passerebbe da un pezzo di tracciato a curvatura nulla (il rettilineo) ad un'altra parte di tracciato con curvatura non nulla (la circonferenza).

Regola numero 1: le discontinuità non sono mai una cosa buona!

Infatti, in questa condizione, un guidatore non è in grado di viaggiare parallelamente all’asse stradale nella percorrenza di questo tratto, in quanto necessita di un tempo, sebbene molto ridotto, per effettuare l’azione di sterzatura! Non solo questo, si avrebbe anche una comparsa istantanea di forza centrifuga a sollecitare la vettura, con conseguenti ripercussioni sulla dinamica del veicolo in marcia.

Ecco che viene in aiuto la matematica! La clotoide funge da elemento di raccordo tra zone del tracciato a curvatura sensibilmente differente. Possono verificarsi in particolare tre casi:

• Si passa da un valore nullo di curvatura ad un valore finito, caso rettilineo-curva, cioè il guidatore sta entrando in curva;
• Viceversa, si passa da un valore finito di curvatura ad un valore nullo, caso curva-rettilineo, cioè il guidatore esce dalla curva;
• Si può passare da un valore finito di curvatura ad un altro valore finito, ma tra loro differenti, si verifica ad esempio quando si hanno due curve circolari percorse in verso opposto (clotoide di flesso) oppure nello stesso verso tra loro ravvicinate (clotoide di continuità).

In tutti questi casi, un arco di clotoide viene progettato per:

• Avere una variazione graduale della forza centrifuga che sollecita il veicolo, rendendo dunque la marcia più sicura;
• Migliorare notevolmente la percezione della strada, garantendone importanti margini di sicurezza aggiuntivi;
• Permettere una graduale variazione della marcia al guidatore, che quindi ha tutto il tempo necessario per assecondare il tracciato durante la marcia.

Non scontato sottolineare il fatto che la maggior parte delle strade esistenti è realizzata mediante elementi in rettifilo e curva circolare che non hanno un elemento di raccordo: dopo aver letto questo articolo, magari riuscirete a riconoscerle durante la guida!