Il paradosso della serie di Grandi: quanto fa 1-1+1-1+…?

La serie di Grandi è una somma infinita di “+1” e “-1” che ha fatto discutere i migliori matematici del ‘700. Questa somma, infatti, sembra paradossalmente avere tre possibili risultati diversi: 0,1 e ½. Menti come Leibniz, Eulero e Lagrange hanno cercato a lungo una risposta rigorosa che fosse matematicamente coerente.

Questa somma infinita, o “serie” nel linguaggio matematico, fu ampiamente studiata dal matematico e monaco italiano Guido Grandi, da cui prende il nome. Grandi diede a questa serie anche delle implicazioni teologiche. Pare che, nel 1703, quando capì che la serie poteva dare come risultato sia 0 sia 1, attribuì a questa incoerenza matematica un significato teologico. Secondo il monaco, il fatto che “1”, cioè “qualcosa”, potesse emergere dallo “0”, cioè “il nulla”, era coerente con

l’infinito potere di Dio Creatore, [per cui] tutte le cose possono essere create dal nulla, e tutte le cose possono essere ridotte al nulla.

Grandi, inoltre, fu il primo a proporre la terza soluzione a questa serie, “½”. Un’idea che verrà poi ripresa e sostenuta, con argomentazioni diverse, anche da Leibniz e da altri matematici.

Oggi, grazie agli strumenti sviluppati nei secoli successivi per studiare l’infinito, sappiamo che questa serie non “ha una somma” nel senso classico, e che anche i matematici più brillanti possono sbagliare.

Vediamo perché questa serie sembra avere tre somme possibili e come mai in realtà non raggiunge nessun valore numerico.

Le soluzioni alla serie di Grandi

Tutti sappiamo che 1-1 fa 0. Se ora aggiungiamo 1, sappiamo che 1-1+1 fa 1, e, se sottraiamo ancora 1, 1-1+1-1 = 0. Ma cosa succede se continuiamo a sommare e sottrarre 1 all’infinito? Oscilla tra 0 e 1 o può raggiungere un risultato? Calcolare la somma di 1-1+1-1+1-1+… può sembrare molto semplice, ma in realtà ci porta a dei paradossi. Questa serie, infatti, sembra avere tre risultati possibili: 0,1 e 1/2.

Potrebbe fare 0

Se proviamo a calcolare

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

considerando gli elementi a due a due, otteniamo:

(1-1) + (1-1) + (1- 1) +…

Ciascuna parentesi “(1-1)” fa 0, quindi la somma diventa:

0 + 0 + 0 +…

Questa somma, chiaramente, continua a fare 0, anche se sommiamo infiniti elementi.

Potrebbe fare 1

Se ora, però, spostiamo un po’ le parentesi, otteniamo un risultato completamente diverso. Infatti, se prendiamo

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

mettiamo da parte il primo 1 e poi combiniamo gli elementi a due a due in questo modo:

1+ (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) +…

La somma di ogni parentesi “(-1+1)” continua ad essere 0, ma ora la somma totale diventa:

1 + 0 + 0 + …

Cioè, sembra che la serie di Grandi possa avere come risultato 1.

Potrebbe fare 1/2

Nel 1703, Grandi mostrò le prime due soluzioni e poi sostenne che questa serie, in realtà, avesse come somma ½.

Per motivare il proprio risultato, oltre ad una serie di conti abbastanza complessi, utilizzò una storia:

Immaginiamo che due fratelli ereditino una gemma dal proprio padre e che, ad anni alterni, ciascuno la conservi in casa propria. Se questa tradizione di scambiarsi la gemma continuasse anche con i loro discendenti, e i discendenti dei loro discendenti, le due famiglie potrebbero dire che ciascuna detiene la metà della proprietà della gemma.

Secondo questa storia, quindi, il fatto che la serie alterni la propria somma da tra 0 e 1, porta la risposta a stare metà del tempo sullo 0 e metà del tempo sull’1, cioè a ½.

Qualche anno più tardi, anche Leibniz, il famoso matematico tedesco, cercò di sostenere questo risultato, utilizzando, però, un ragionamento probabilistico. Secondo Leibniz, se interrompiamo la somma in un punto casuale, otterremo 0 oppure 1 con la stessa probabilità. Quindi, secondo Leibniz, l’unica cosa logica da fare con la somma all’infinito è considerare la media di 0 e 1, che fa ½. Leibniz stesso ammise che la sua spiegazione era più filosofica che matematica, ma aggiunse che

nella matematica c’è più verità filosofica di quanto si creda generalmente.

Quanto fa davvero: la serie di Grandi non ha una somma

L’errore dentro cui sono caduti famosi matematici, e dentro il quale è molto facile cadere quando ci si approccia a questo tipo di problemi, è trattare queste somme all’infinito come delle classiche somme, e non come degli oggetti matematici speciali con le loro regole, che, se vengono ignorate, causano paradossi.

Non è un caso che le serie abbiano affascinato i pensatori per secoli. Uno degli esempi più noti è il paradosso di Zenone, noto come “Achille e la tartaruga”. In questo paradosso,  Achille sfida una tartaruga in una gara di corsa, ma le concede un piccolo vantaggio iniziale. Proprio a causa di questo vantaggio, secondo il paradosso, Achille non la raggiungerà mai. Infatti, Zenone sostiene che per percorrere il tragitto, Achille dovrà prima percorrerne metà (1/2), poi metà della distanza rimanente (1/4 del tragitto totale), e poi metà della distanza rimanente (1/8), e così via. Siccome si può continuare a suddividere all’infinito, Achille non riuscirà a raggiungere la tartaruga, né tanto meno il traguardo.

Questo paradosso, così come la serie di Grandi, in realtà, può essere risolto utilizzando degli strumenti matematici sviluppati nel 19esimo secolo, che ora sono parte di quella branca della matematica chiamata analisi. Grazie a questi strumenti, ora diciamo che le serie “hanno una somma”, o in matematichese “convergono ad una somma”, se, man mano che aggiungiamo elementi, ci avviciniamo sempre di più ad un certo numero.

Ad esempio, se consideriamo la serie di Achille, che prima percorre ½ (0.5), poi ¼ (0.25), poi ⅛ (0.125), poi un 1/16 (0.0625), e così via, abbiamo che la somma dei primi due elementi fa 0.75, quella dei primi tre fa 0.875, quella dei primi 4 fa 0.9375. Se sommassimo i primi 10, otterremmo 0.9990234375. Più elementi aggiungiamo, più ci avviciniamo a 1. In questo senso, la serie converge a 1, e Achille raggiunge la tartaruga.

Con la serie di Grandi, però, succede qualcosa di diverso. Man mano che aggiungiamo elementi, non ci avviciniamo a nessun numero, ma continuiamo ad oscillare tra 0 e 1. Per questo motivo, ora sappiamo che la serie di Grandi non ha una somma.

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