Cos’è la formula di Gauss e come permette di calcolare rapidamente lunghe somme

La formula di Gauss ci permette di sommare i primi n numeri naturali con un semplicissimo calcolo, cioè il semiprodotto tra n e n+1.

Questo significa che una somma "pesante" come può essere quella dei primi 100 numeri naturali, che da un punto di vista computazionale (e di tempi) potrebbe sembrare particolarmente onerosa dato che richiede la somma di 100 addendi – cioè 1+2+3+4+…+99+100 – può essere risolta velocemente con il semplice calcolo 100*101/2=5050.

Ma com'è possibile che sommare tra loro n numeri sia così semplice? Da dove nasce la formula del semiprodotto di n per n+1? La risposta, che apparentemente sembra poco intuitiva, diventa immediata se disponiamo i numeri da 1 a n su di una riga. In questo esempio, come sopra, useremo n=100 e, per comodità, chiamiamo S la somma che stiamo calcolando.

Ora, nella riga sottostante, scriviamo nuovamente i numeri da 1 a 100 – la cui somma vale sempre S – ma questa volta in senso inverso. La somma delle due righe tra loro vale proprio 2S, ma quello che noi vogliamo scoprire è proprio il valore di S.
Per farlo, sommiamo tra loro i numeri che si trovano accoppiati verticalmente: notiamo che la somma dà sempre come risultato 101 – cioè n+1, dato che nel nostro esempio n è uguale a 100.

Questo significa che sommando tra loro i 100 risultati parziali delle 100 colonne, avendo tutti come risultato 101, il risultato della somma delle due righe è proprio 100*101 (cioè n(n+1)).

Ora, 100*101 è il risultato della somma delle due righe, che sappiamo essere uguale a 2S, quindi tornando al risultato che stavamo cercando, cioè la somma dei primi 100 numeri naturali, ci basterà dividere per 2 il risultato che abbiamo ottenuto, da cui:

L'esempio che abbiamo appena visto può essere esteso a qualsiasi n naturale. Questo significa che anche sommare tra loro un miliardo di numeri naturali consecutivi può essere ottenuto con un solo semplice calcolo.
Questa formula è detta di Gauss dal famoso matematico che la congetturò: Carl Friedrich Gauss. La leggenda narra che Gauss scoprì questa formula a soli 8 anni, ma non esistono fonti certe che assicurino la veridicità di questa storia. Nonostante Gauss fosse un assoluto genio e sia stato una figura fondamentale in diversi campi della matematica, non abbiamo testimonianze ufficiali di questa sua geniale affermazione in giovane età.

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