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16 Settembre 2022
7:30

Achille e la tartaruga, la spiegazione semplice del paradosso di Zenone

Sicuramente avrete sentito parlare del paradosso in cui l'eroe greco Achille viene battuto sul tempo da una tartaruga. Spieghiamo perché Zenone lo sosteneva e come si si supera facilmente.

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Achille e la tartaruga, la spiegazione semplice del paradosso di Zenone
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Uno dei paradossi logici più famosi di sempre è stato realizzato dal filosofo dell’antica Grecia Zenone di Elea. La formulazione giunge a noi tramite un altro filosofo, Aristotele, che riporta il paradosso nella Fisica, una delle sue maggiori opere.
Il paradosso vuole che se Achille, sfidando una tartaruga in una gara di corsa, dovesse concederle anche solo qualche metro di vantaggio iniziale, non riuscirebbe mai a raggiungerla. Ma com’è possibile che Achille “piè veloce” non raggiunga mai la tartaruga? Cerchiamo di capire come funziona il paradosso e quali sono le sue risoluzioni matematiche e fisiche.

La formulazione del paradosso

Si tratta probabilmente del paradosso più noto di Zenone che vede protagonisti l’eroe greco per eccellenza, Achille, e una tartaruga. Solitamente questo paradosso viene utilizzato per trattare il tema della somma di un numero infinito di addendi.
Ma andiamo con ordine e vediamo la formulazione precisa: Achille, l’eroe più veloce del mondo greco, decide di fare una gara di corsa sfidando la tartaruga. Essendo così veloce (e un po’ pieno di sé), egli decide di dare un vantaggio di qualche metro alla tartaruga. Proprio per questo motivo, per questo vantaggio, Achille non la raggiungerà mai.
Possiamo allargare questo paradosso anche alla sua formulazione più ampia, perché in generale Zenone sostiene che per coprire una distanza qualsiasi sia necessario in primis percorrere la metà di quella distanza, ma quindi anche la metà della metà e così via. Questo farebbe sì che la nostra possibilità di muoverci dovrebbe essere in teoria nulla. Non dovremmo riuscire ad andare mai da nessuna parte, ma questo è chiaramente assurdo.

Zeno_Dichotomy_Paradox
Credits: Martin Grandjean, CC BY–SA 4.0

Questo paradosso è fortemente contro-intuitivo, va proprio a cozzare con la nostra esperienza di tutti i giorni!
Vanno tenuti in conto alcuni aspetti per capire la formulazione e come mai abbia avuto così tanto successo questa strana idea di Zenone: in primis è necessario ricordare che il momento della formulazione fu circa nel V a.C. e dunque molte conoscenze matematiche che sono venute successivamente non erano in possesso dello studioso (oggi infatti risolviamo tranquillamente il paradosso). In secondo luogo la formulazione della frase richiede solo che Achille raggiunga la tartaruga e non che la superi, cosa da tenere a mente per la risoluzione del paradosso.

Un esempio numerico

Immaginiamo la situazione in cui Achille e la tartaruga sono sui rispettivi blocchi di partenza: l’eroe parte dal punto “A0” e la tartaruga da punto 10 metri più avanti che possiamo chiamare “T0”.
Per immaginare precisamente la scena poniamo per assurdo che la velocità di Achille sia di 10 m/s mentre quella della tartaruga solo di 1 m/s.
Questo vuol dire che dopo un secondo dall’inizio della gara Achille arriva nel punto T0 (quindi avrà percorso i primi dieci metri), ma anche la tartaruga si sarà spostata in un punto T1, ovvero un metro più in là.

achille e la tartaruga
Rappresentazione schematica a cura di Nicole Pillepich.

Dopodiché Achille dovrà raggiungere la tartaruga nel punto T1 , quindi percorrere un altro metro e per farlo impiegherà 0,1 secondi; ma anche la tartaruga in quella breve frazione di secondo si sarà spostata e precisamente di 0,1 metri! Così la tartaruga resterà in vantaggio e si collocherà al punto T2.
Questa stessa dinamica procede per ogni pezzetto di strada che Achille percorrere per raggiungere la sua non troppo lenta avversaria. Per quanto possa ridursi a pezzettini di strada sempre più piccoli, fino anche ad essere microscopici, la tartaruga occupa sempre il primo posto.
In effetti sembra un vero e proprio paradosso: la logica ci dice qualcosa che la nostra quotidianità smentisce continuamente.

Due possibili soluzioni: quella matematica e quella fisica

Esiste, ovviamente, una soluzione a questo paradosso così particolare. Le conoscenze matematiche di Zenone, giustamente un uomo del suo tempo, facevano sì che lui fosse convinto che la somma di infinite quantità desse come risultato solo una quantità infinita, ma non è così! Somme di infiniti addendi possono dare anche risultati finiti: ad esempio se sommiamo gli infiniti numeri che vanno da 0 a 1, sempre più piccoli, ci avvicineremo moltissimo al numero finito 1.
Questo cosa vuol dire? Che, come tutti noi immaginavamo, Achille a un certo punto ovviamente raggiunge la tartaruga perché la somma delle infinite piccolissime parti di tracciato percorso dall’eroe alla fine daranno un numero finito preciso. Achille percorrerà infatti tutte le infinite distanze: 10 m + 1 m + 0,1 m… fino ad arrivare a un numero finito.

paradosso_zenone_achille_tartaruga

Per calcolare questo punto esatto in matematica si utilizza lo strumento delle serie numeriche (ovvero somme di infiniti numeri) e nello specifico si usa una serie geometrica che viene scritta con una dicitura che potrebbe spaventare a prima vista – la vedete qui sotto, la lettera greca ∑ ci indica la "sommatoria" delle infinite parti che compongono il percorso . Una volta sommati tutti gli infiniti addendi, si ottiene come risultato circa 11,1 metri.

formula_sommatoria_achille_tartaruga_zenone

Il medesimo risultato è rintracciabile anche con una risoluzione “fisica” di questo paradosso. Partendo dagli stessi dati che avevamo visto nell’esempio numerico:

  • la velocità di Achille = 10 m/s
  • la velocità della tartaruga = 1 m/s
  • la loro distanza iniziale = 10 m

Questo vuol dire che la legge oraria del moto di Achille, quella che ci dice a che punto del percorso si trova l’eroe, corrisponderà alla sua velocità per il tempo impiegato a percorrere lo spazio. È scrivibile in questo modo: SA = 10 m/s x t. Mentre la legge oraria del moto della tartaruga sarà simile, ma con l’aggiunta dei metri di vantaggio: S T = 10 m + 1 m/s x t.
Per trovare il momento esatto in cui Achille raggiunge la tartaruga è necessario capire per quali valori SA (la posizione di Achille) è uguale a ST (la posizione della tartaruga). Dunque basterà risolvere questa equazione: 10 m/s x t = 10 m + 1 m/s x t.
Con pochi passaggi si ottiene: 9 m/s x t = 10 m; t = 10/9 s e quindi t= 1,11 s circa.
Questo vuol dire che dopo 1,11 s Achille raggiunge la tartaruga e che, andando a una velocità di 10 m/s, il punto di ricongiungimento tra l'eroe e la sua lenta avversaria si ha dopo 11,1 m di percorso.

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Camilla Ferrario
Redattrice
L’universo è un posto strano e il modo che abbiamo di abitarlo cattura continuamente la mia attenzione. “Sii curiosa” è il mio imperativo: amo provare a ricostruire indizio per indizio il grande enigma in cui ci troviamo. Sono laureata in Filosofia, ho fatto la speaker in una web radio e adoro il true crime. Di cosa non posso fare a meno? Del dialogo aperto con gli altri e della pasta alle vongole.
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