Il trucco per fare calcoli veloci a mente: come calcolare i quadrati senza fare moltiplicazioni

Esiste un modo per calcolare i quadrati perfetti a mente senza fare nemmeno una moltiplicazione o una potenza, ma solo con somme e sottrazioni in modo velocissimo.
Per esempio, calcolare il quadrato di 31 a mente, ci potrebbe sembrare impossibile, eppure con questa "magia" possiamo farlo in pochi secondi: il quadrato di 30 è 900, e questo è noto. Ora basta sommare prima 30 – il numero precedente – e poi 31 – il numero stesso – e si ottiene 961 che è proprio il quadrato di 31.

Come calcolare i quadrati perfetti velocemente senza fare moltiplicazioni

I quadrati perfetti possono essere calcolati velocemente grazie a un trucchetto matematico che richiede solo un conto. Questa regola ci insegna che i quadrati sono tutti "concatenati" tra loro e possiamo passare da uno all'altro attraverso una semplice somma.

Vediamo la regola attraverso un esempio facile. Immaginiamo di voler calcolare il quadrato del numero 3:

• considero il numero precedente al 3, cioè il 2, e ne considero il quadrato 2² = 4
• a questo punto sommo a 4 il nostro numero protagonista, il 3, e il numero precedente, il 2
• ed ecco qui il risultato 3² = 4 + 3 + 2

E questa regola vale sempre! Il quadrato di un qualsiasi numero è uguale al quadrato del numero precedente, n-1, sommato al numero stesso e al numero precedente. Scritto in matematichese, la regola è questa:

In questo modo si possono calcolare tutti i quadrati, uno dietro l’altro, senza fare neanche una moltiplicazione:

• il quadrato di 4 sarà 9 + 3 + 4 = 16
• il quadrato di 5 sarà 16 + 4 + 3 = 25
• il quadrato di 6 sarà dato da 25 + 5 + 6 = 36

Ora, finché parliamo di numeri piccoli il trucco serve a poco: chiunque ricordi le tabelline sa dire al volo che il quadrato di 6, “sei per sei”, fa 36. Ma con i numeri più grandi le cose si complicano e questo trucco ci può aiutare. Ad esempio, non tutti sanno dire al volo quanto è il quadrato di 11, ma tutti sanno che 10 × 10 fa 100, quindi per calcolare il quadrato di 11 basta fare 100 + 10 + 11 = 121, facile no?

In pratica, se ci ricordiamo a memoria alcuni quadrati, o se ne sappiamo calcolare al volo alcuni perché più facili, allora tutti i quadrati immediatamente successivi li possiamo calcolare al volo con questo trucco. Noi, infatti, abbiamo iniziato con il numero 31 proprio perché è abbastanza noto che 900 sia il quadrato di 30, o comunque è facile da calcolare (basta fare 30×10 che fa 300 e poi moltiplicare per 3), quindi possiamo calcolare i quadrati seguenti con il nostro trucco magico:

• 900 + 30 + 31 = 961 che è il quadrato di 31
• 961 + 31 + 32 = 1024 che è il quadrato di 32
• 1024 + 32 + 33 = 1089 che è il quadrato di 33

Ma non è finita qui, il trucco si può utilizzare anche al contrario usando la sottrazione invece che l’addizione, proviamolo con il quadrato di 29:

• partiamo dal quadrato del numero che conosciamo, ad esempio il quadrato di 30 è 900.
• sottraiamo il numero da cui siamo partiti ed il suo precedente, nel nostro caso sottraiamo 30 e 29 a 900 ottenendo 900-30-29 = 841 che è proprio il quadrato di 29

Potete divertirvi proseguendo a calcolare il quadrato di 28, 27 e così via.

Come mai funziona il calcolo: i numeri figurati

Ma perché funziona questo trucco? Per capirlo possiamo ricordarci che i quadrati dei numeri possono essere visti proprio come… quadrati. Si tratta della rappresentazione grafica dei numeri, anche detta numeri figurati. Facciamolo con l’esempio più facile, il quadrato di 2 è 4 e può essere rappresentato come 4 palline disposte a formare un quadrato 2×2, come abbiamo fatto nella figura sotto.

Se aggiungiamo una fila con due palline sopra al quadrato otteniamo un rettangolo 3×2 composto da 6 palline. D’altronde 6, come numero non è un quadrato perfetto, ma se al nostro disegno aggiungiamo una colonna con 3 palline otteniamo un quadrato 3×3 con 9 palline, ovvero il quadrato di 3!

Lo stesso procedimento può essere replicato aggiungendo prima una fila di 3 palline e poi una colonna di 4 palline ottenendo un quadrato 4×4, e così via: come potete vedere non si tratta di magia, ma di matematica!