Perché i quadrati sono sia rombi che rettangoli?

Quanti rettangoli ci sono nell’immagine? E quanti rombi? Se hai risposto “nessuno” allora hai sbagliato! Nella figura sono ben visibili 2 quadrati che, da un punto di vista matematico, sono allo stesso tempo sia rettangoli che rombi, tutti nella grande famiglia dei parallelogrammi: quadrilateri con i lati paralleli due a due. È una questione di angoli retti e di lati congruenti, vi spieghiamo perché il quadrato è considerato un caso particolare.

I quadrati sono rettangoli, ma anche dei rombi

Andiamo per gradi: in che senso un quadrato è anche un rettangolo? Pensiamoci bene, cosa è un rettangolo? Senza andare troppo nel dettaglio siamo tutti d’accordo sul fatto che un rettangolo una figura di 4 lati (un quadrilatero) con tutti gli angoli retti di 90°? Ma allora basta chiedersi:

il quadrato è una figura di 4 lati con 4 angoli di 90°?

La risposta è si, per cui i quadrati sono anche rettangoli, in pratica sono rettangoli particolari che, a differenza degli altri rettangoli, hanno tutti e 4 i lati uguali, ma son pur sempre rettangoli!

Quadrati e rettangoli sono parenti anche con altre figure geometriche, appartengono infatti alla grande famiglia dei parallelogrammi, ovvero

i parallelogrammi sono quadrilateri con i lati paralleli due a due.

Facendo riferimento ai parallelogrammi possiamo dire, come fanno i matematici,  che tutti i rettangoli, quadrati compresi, sono parallelogrammi con tutti gli angoli retti.

Ma c'è di più, tra i parallelogrammi troviamo anche i rombi, ovvero

parallelogrammi con 4 lati uguali.

Nella figura sopra vediamo 4 rombi, ma due di questi hanno anche tutti gli angoli di 90°, quindi sono allo stesso tempo sia rombi che rettangoli, in altre parole sono quadrati!

Ma quindi, i quadrati sono rettangoli o sono rombi? Sono sia l’uno che l’altro dato che godono sia della proprietà caratteristica dei rettangoli, avere 4 angoli uguali, che di quella dei rombi, avere 4 lati uguali: in pratica i quadrati sono dei rombi-rettangoli, o se preferite rettangoli-rombi … e come tali sono anche parallelogrammi!

La grande famiglia dei parallelogrammi

Le cose iniziano a complicarsi, facciamo un riepilogo per capire meglio come i matematici hanno classificato queste figure geometriche:

• si parte dalla grande famiglia dei parallelogrammi: quadrilateri con i lati paralleli due a due
• si restringe il campo in due modi diversi, usando due diverse proprietà:
  1. 1. i parallelogrammi che hanno 4 angoli uguali: i rettangoli
  2. 2. i parallelogrammi che hanno 4 lati uguali: i rombi
• si mettono insieme queste due proprietà e si restringe ulteriormente il campo individuando i parallelogrammi con 4 angoli uguali e 4 lati uguali: i quadrati.

Ad ogni passo abbiamo ristretto un po’ il campo, questo vuol dire in particolare che se è vero che tutti i quadrati sono rettangoli, non è vero il contrario, esistono infatti rettangoli che non sono quadrati (vedi figura sui rettangoli in alto). Allo stesso modo, mentre tutti i quadrati sono rombi, esistono rombi che non sono quadrati (come si vede nella figura sui rombi). In un certo senso, rettangoli e rombi "discendono" dai parallelogrammi ed i quadrati "discendono" sia dai rombi che dai rettangoli e quindi anche dai parallelogrammi.

Ma perché i matematici suddividono le figure in questa maniera strana? Il fatto è che in questo modo si crea un meccanismo di ereditarietà delle proprietà che facilita lo studio delle figure stesse.

Ad esempio, è stato dimostrato che in ogni rettangolo le due diagonali sono uguali: i quadrati, che discendono dai rettangoli, ereditano questa proprietà e possiamo affermare che tutti i quadrati hanno le diagonali uguali senza bisogno di dimostrarlo. In pratica i quadrati ereditano tutte le proprietà dei rettangoli e dei rombi e tutto ciò che viene dimostrato per i rettangoli e per i rombi vale automaticamente anche per i quadrati, senza bisogno di ulteriori dimostrazioni: questo porta ad un notevole risparmio di lavoro per chi studia le proprietà delle diverse figure geometriche. La stessa cosa vale per qualunque altro concetto matematico e questo modo di classificare si trova un po’ dappertutto in matematica, e nelle altre scienze!

I triangoli equilateri sono anche isosceli

Ma rimaniamo nell'ambito della geometria ed osserviamo nuovamente l'immagine di copertina: quanti triangoli isosceli ci sono? La risposta giusta è che tutti i triangoli della figura sono isosceli, anche se sono tutti equilateri! Per i matematici, infatti, i triangoli isosceli sono triangoli che hanno due lati uguali, mentre i triangoli equilateri sono triangoli che hanno tre lati uguali, per cui la domanda giusta da chiedersi è:

un triangolo equilatero ce li ha due lati uguali?

Ma come sappiamo:

un triangolo equilatero ha addirittura 3 lati uguali, figuriamoci due!

Quindi, sì, i triangoli equilateri sono anche triangoli isosceli.