Perché meno per meno fa più: la spiegazione

Perché meno per meno fa più? La risposta matematica a questa domanda si può sintetizzare con “perché se così non fosse le cose non tornerebbero”. Questo, infatti, è un tipico (per la matematica) esempio di regola formulata in maniera da non scontrarsi con le altre regole preesistenti. Si tratta quindi di una regola che non può essere dimostrata, tuttavia esiste un ragionamento solido che porta a questa conclusione. Vediamolo, accompagnato da due esempi per visualizzare in modo intuitivo i motivi di questa regola dei segni.

La risposta matematica al perché meno per meno fa più

I numeri negativi sono stati inventati successivamente ai numeri positivi e nascono come estensione dei numeri positivi, un’estensione che permette di fare operazioni, come 3 – 5, che altrimenti non si potrebbero fare.

In matematica una delle cose principali che si fanno con i numeri sono le operazioni, e quando si inventano dei numeri nuovi bisogna anche stabilire come calcolare le operazioni. In questo caso, trattandosi di un’estensione dei numeri positivi, è auspicabile che i risultati delle operazioni non si scontrino con le regole ed i risultati delle operazioni dei numeri positivi.

Per quanto riguarda in particolare la “meno per meno fa più” si tratta di stabilire se è meglio che il risultato di –1 × –1 sia –1 oppure 1.

Proviamo a vedere cosa accadrebbe se il risultato fosse –1, quindi testiamo l'ipotesi –1 × –1 = –1. Per farlo, calcoliamo –1 × (–1+1) e vediamo se fila tutto liscio. Questo calcolo si può fare in due modi, il primo è calcolando prima la somma tra parentesi e poi la moltiplicazione:

–1 × (–1+1) = –1 × 0 = 0

C’è però un altro modo di fare questo calcolo, come ci dice la proprietà distributiva, che si scrive

a × (b+c) = a × b + a × c

Applicando questa proprietà alla nostra operazione otteniamo:

–1 × (–1+1) = –1 × –1 + (–1) × 1

A questo punto, poiché stiamo testando l'ipotesi (–1) × (–1) = –1, possiamo scrivere:

–1 × –1 +  (–1) × 1 = –1  +  (–1) = –2

In pratica il risultato di –1 × (1–1) è sia a 0 che a –2, contemporaneamente, e questo è molto strano.

Ora testiamo invece l'ipotesi –1 × –1 = 1. Il nostro calcolo diventa:

–1 × (–1+1) = –1 × –1 + (–1) × 1 = 1 + (–1) = 0

che è in perfetto accordo con il risultato ottenuto svolgendo prima la somma tra parentesi.

In pratica il motivo per cui –1 × –1 = 1 e quindi “meno per meno fa più” è che se così non fosse accadrebbero cose strane come il numero -2 che diventa uguale al numero 0… oppure dovremmo rinunciare alla proprietà distributiva, ma questo renderebbe molto tristi i matematici.

La spiegazione economica della regola dei segni

Immaginiamo di avere un conto in banca e di dover versare una rata di 10 € ogni mese. Poiché per noi rappresenta un'uscita, possiamo indicare questa cifra con un numero negativo, –10 € (se invece prendessimo soldi dalla banca la rata sarebbe positiva, +10 €).

Se abbiamo appena pagato siamo in pari, ma se con una macchina del tempo facciamo un salto in avanti di tre mesi ci troviamo a dover pagare una rata unica da –30 € che tiene conto delle 3 rate da –10 € che non abbiamo ancora pagato. Pagare 3 rate da –10 € è equivalente a pagare una rata da –30 €, in altre parole –10 € × 3 volte = –30 €, che in matematichese si scrive –10 × 3 = –30. Ora, con la macchina del tempo, torniamo al presente e poi facciamo un salto indietro di 3 mesi. Questa volta siamo a credito con la banca di 30 € perché abbiamo già pagato le 3 rate da –10 €, e siccome stiamo andando indietro nel tempo possiamo dire che abbiamo pagato la rata per –3 volte, in altre parole –10 € × –3 volte = 30 €, che in matematichese si scrive –10 × –3 = 30.

Questo tipo di spiegazione, di cui si trovano diverse versioni sui social, non può essere considerata una dimostrazione della regola, ma solo un modo per illustrarla con un esempio di tipo economico.

Un esempio fantasioso: la stanza della bontà di Gardner

Vediamo ora la fantasiosa spiegazione elaborata dal noto matematico americano Martin Gardner.

Immaginiamo una stanza piena di persone di due tipi, le persone buone e le persone cattive, dove la bontà della stanza è data dal bilancio tra persone buone e cattive, per cui se la stanza contiene 10 buoni e 7 cattivi allora ha una bontà pari a 3.

Le persone buone sono i numeri positivi, mentre le persone cattive sono i numeri negativi. A questo punto possiamo sommare persone alla stanza facendole entrare dentro, oppure possiamo sottrarre persone alla stanza facendole uscire fuori. Aggiungere un numero positivo significherà quindi far entrare persone buone, mentre aggiungere un numero negativo significherà far entrare persone cattive.

Le moltiplicazioni sono addizioni ripetute, quindi calcolare –10 × 3 significa far entrare 10 persone cattive per 3 volte, ma se noi facciamo uscire 10 persone per 3 volte allora stiamo calcolando –10 × –3 e la bontà della stanza aumenterà di 30, quindi anche in questo caso concludiamo che –10 × –3 = 30.

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