Con il sistema binario possiamo contare fino a 62 (o 1023) con le dita delle mani: ecco come

Il sistema binario è un sistema numerico in base 2, cioè basato solo su due cifre: lo 0 e l’1.
Nella vita di tutti i giorni siamo abituati a utilizzare il cosiddetto sistema decimale, cioè in base 10. Infatti le cifre che utilizziamo sono proprio 10: da 0 a 9.
Il sistema decimale risulta molto comodo quando si tratta di comunicare tra di noi, fare calcoli o semplicemente visualizzare delle informazioni. Non è così invece per i computer, il cui linguaggio è molto più gestibile utilizzando il sistema binario.
C'è però un aspetto curioso e interessante del sistema binario: contando con le mani nel sistema binario possiamo arrivare a contare fino a 62, o addirittura fino a 1023! Molto più del 10 che possiamo raggiungere con il conteggio che utilizziamo solitamente.

Come contare con le dita nel sistema binario

Quando contiamo con le mani siamo abituati ad attribuire a ogni dito il valore uno e li sommiamo: quindi un dito alzato vale 1, due dita alzate valgono 1+1=2, tre dita alzate valgono 3, e così via fino ad arrivare a 10.

Contare invece utilizzando il sistema binario attribuisce ad ogni dito una potenza di due, facendo crescere l'esponente dal pollice al mignolo. Attribuiamo infatti al pollice il valore 2⁰ (cioè 1, infatti tutti i numeri diversi da 0, se elevati alla 0 danno come risultato 1), l'indice avrà il valore 2¹ (cioè 2), poi il medio 2² (cioè 4), l'anulare 2³ (cioè 8), fino ad arrivare al mignolo che vale 2⁴, cioè 16.

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Per ottenere altri numeri, basterà alzare più dita insieme e sommare il loro valore. Quindi per esempio alzando indice e medio otteniamo il numero 6, infatti abbiamo 2¹ + 2² , cioè 2 + 4 = 6.

Il numero massimo che possiamo conteggiare con una sola mano è 2⁵-1, cioè 31, che si ottiene alzando tutte le dita e quindi sommando tutte le potenze del 2, da 0 a 4:

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

E quindi utilizzando entrambe le mani in modo equivalente arriviamo a 62.

Se invece continuiamo a far aumentare gli esponenti del 2 nella seconda mano, quindi attribuendo al "secondo" pollice il valore 2⁵, al secondo indice 2⁶ e così via fino a 2⁹ nel secondo mignolo, arriviamo addirittura fino a 2¹⁰-1, cioè 1023:

2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹ = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1023

In questo caso, però, l'ordine delle mani è molto importante: non utilizzandole in modo equivalente, le stesse dita in mani diverse avranno un valore diverso. Per esempio, se alziamo solo l'indice della prima mano stiamo contando 2² = 4, se invece alziamo solo l'indice della seconda mano stiamo contando 2⁸ = 256.

Come si scrivono i numeri nel sistema binario

Bene, abbiamo scoperto come contare fino a 62 usando il binario. Cerchiamo ora di capire come si legge il sistema binario, formato da stringhe di 0 e 1, partendo da quello decimale.

Nel sistema decimale ogni posizione corrisponde a una diversa potenza di 10: la cifra più a destra corrisponde a 10⁰ (cioè 1, infatti tutti i numeri diversi da 0, se elevati alla 0 danno come risultato 1), alla sua sinistra abbiamo 10¹ (cioè 10), poi 10² (cioè 100) e così via proseguendo verso sinistra e aumentando di uno l'esponente. La cifra che leggiamo in ogni posizione – che può variare tra 0 e 9 – ci dice invece quante volte dobbiamo considerare quella potenza. Si dice "in base 10" proprio perché utilizziamo come riferimento le potenze di 10, e abbiamo 10 cifre a nostra disposizione, da 0 e 9.

Vediamolo con un esempio pratico. Nel numero 267 abbiamo, partendo da destra:

• 7 volte 10⁰, cioè 7 · 1=7
• 6 volte 10¹, cioè 6 · 10=60
• 2 volte 10², cioè 2 · 100=200

Il risultato si ottiene sommando i diversi fattori, quindi 7 + 60 + 200 = 267.

Nel sistema binario il concetto è lo stesso che abbiamo espresso sopra, ma sostituendo il 2 al 10, cioè in base 2. Questo significa che non utilizzeremo le potenze del 10, ma le potenze del 2.

In questo caso, quindi, la cifra più a destra corrisponde a 2⁰ (cioè 1), alla sua sinistra abbiamo 2¹ (cioè 2), poi 2² (cioè 4) e così via. Anche qui la cifra che leggiamo in ogni posizione ci dice quante volte dobbiamo considerare quella potenza, ma in questo caso abbiamo solo due possibilità, cioè 0 (quella potenza è “spenta”) e 1 (quella potenza è “accesa”).

Se volessimo per esempio scrivere il numero di prima, cioè 267, in binario, sarebbe:

100001011

infatti abbiamo 2⁰ + 2¹ + 2³ + 2⁸ = 1 + 2 + 8 + 256 = 267.

E se vogliamo convertire un numero decimale nel sistema binario? Ecco il metodo: dividiamo il numero per 2, poi dividiamo il numero che otteniamo per 2, e così via fino ad arrivare a 0. Poi mettiamo in fila tutti i resti che abbiamo ottenuto dalle varie divisioni, dall'ultimo al primo. Proviamo con il numero 28:
28 : 2 = 14 con resto 0
14 : 2 = 7 con resto 0
7 : 2 = 3 con resto 1
3 : 2 = 1 con resto 1
1 : 2 = 0 con resto 1
Quindi, 28 in base 2 si scriverà 11100.

Il sistema binario può sembrare poco intuitivo e anche più scomodo rispetto al sistema decimale. Se pensiamo al numero 267, in decimale abbiamo usato solo 3 cifre, in binario ce ne sono volute 9.

Il binario però è molto utile in informatica ed è infatti utilizzatissimo. Questo perché la sua comodità sta nell’utilizzare solo due “comandi”: lo 0 e l’1, spento e acceso. È molto più facile infatti per un computer, che usa transistor e chip, distinguere tra due intensità di corrente (cioè accesa e spenta), invece che tra 10 diverse intensità.

Possiamo ritrovare questo concetto proprio con le nostre dita. Infatti, non riusciamo a riprodurre il sistema decimale con le dita: non è possibile chiedere a ogni dito di rappresentare 9 cifre diverse a seconda di come lo pieghiamo. Possiamo solo contare le diverse cifre, considerando che ogni dito valga 1 e le sommiamo. Da 0 a 10. Con le dita possiamo invece riprodurre il sistema binario: ogni dito ci dice se quella potenza di 2 è accesa (1 = dito alzato) o spenta (0 = dito abbassato).