Il rompicapo più difficile del mondo: l’indovinello dei tre dei

L’indovinello dei tre dei è stato definito “il rompicapo logico più difficile del mondo”. Ideato dal logico e filosofo Raymond Smullyan e reso popolare e più complesso dal suo collega George Boolos, ha messo alla prova generazioni di matematici e appassionati di logica, ispirando numerose varianti, più o meno semplici. Come molti degli enigmi di Smullyan, anche questo si ispira ai problemi dei “cavalieri e briganti”, quei problemi logici in cui una parte della popolazione dice sempre la verità e l’altra mente sempre. Il più celebre di questi enigmi è “l’indovinello delle due porte”, noto anche per essere apparso nel film Labyrinth.

L’enigma dei tre dei aggiunge un ulteriore livello di difficoltà: oltre a un dio che dice sempre la verità e uno che mente sempre, c’è anche un terzo che risponde in modo completamente casuale. E questo complica non poco la situazione.

In questo articolo vediamo il rompicapo e una delle sue soluzioni.

L’indovinello dei tre dei: tra vero, falso e casuale

Voi e la vostra navicella spaziale siete precipitati su un pianeta misterioso. L’unico modo per tornare a casa è ottenere l’aiuto di tre divinità locali: Sincero, Bugiardo e Random. Gli dei sono disposti ad aiutarvi, ma a una condizione: dovrete identificare correttamente ciascuno di loro, cioè capire quale dio è Sincero, quale Bugiardo e quale Random e quindi assegnare a ognuno il proprio nome. C’è però un problema: non sapete chi sia chi.

Vi è concesso porre tre domande in totale, ognuna rivolta a un solo dio per volta. Le regole sono:

• Il dio Sincero dice sempre la verità.
• Il dio Bugiardo mente sempre.
• Il dio Random risponde in modo completamente casuale, indipendentemente dalla domanda.

A complicare ulteriormente le cose, potete fare solo domande la cui risposta sia "sì" oppure "no". Gli dei, però, non useranno queste parole per rispondervi. Al loro posto useranno “ja” e “da”, senza specificare quale significhi “sì” e quale “no”.

Come farete, con sole tre domande di cui non capite la risposta, a scoprire l’identità di ciascun dio?

La soluzione all’indovinello dei tre dei

A prima vista, questo rompicapo sembra impossibile… non per niente è il più difficile del mondo! Ma, con un po’ di strategia, si può risolvere. Il segreto sta nel formulare attentamente le nostre domande. Ci sono diversi modi per farlo, vediamo quello più semplice. Iniziamo con il fare una considerazione su come interpretare qualsiasi risposta ci venga data da Sincero o da Bugiardo, i due dei che non rispondono in modo casuale.

Come interpretare le risposte di Sincero e Bugiardo: il meccanismo della doppia bugia

Dato che non conosciamo il significato di "ja" e di "da", dobbiamo strutturare bene le domande così che la risposta ci dia delle informazioni. Immaginiamo, per esempio, di voler sapere dagli dei se 1+1 fa 2. Se formulassimo così la domanda, però, non ricaveremmo nessuna informazione, perché riceveremmo come risposta solo “ja” o “da”, ma noi non sappiamo cosa significhino e non sappiamo nemmeno con quale dio stiamo parlando! Se, invece, lo chiediamo così:

"Se ti chiedessi se 1+1 fa 2, risponderesti “ja”?"

avremo delle informazioni utili. Vediamo perché.

Immaginiamo per esempio che “ja” significhi “sì”. Allora la domanda intera diventa: "Se ti chiedessi se 1+1 fa 2, risponderesti “sì”?". In questo caso le risposte dei due dei sarebbero:

• Sincero, che dice sempre la verità, ci risponderebbe “sì” alla domanda “1+1 fa 2”, e quindi ci risponde “sì” anche all’intera domanda.
• Bugiardo, che mente sempre, alla domanda “1+1 fa 2?” risponderebbe “no” dato che mente. Ma lui deve rispondere alla domanda "Se ti chiedessi se 1+1 da 2, risponderesti "si"?", e se rispondesse "no", direbbe la verità su ciò che risponderebbe! E quindi dovendo mentire anche sull’intera risposta, si crea una sorta di "doppia bugia" per cui Bugiardo dovrà mentire sulla sua bugia, rispondendo così “sì”. Anche lui, quindi, risponde “sì”.

In entrambi i casi, se “ja” vuol dire “sì”, sia Sincero che Bugiardo risponderebbero “ja”. E lo stesso identico ragionamento possiamo farlo nel caso in cui "ja" significhi "no"!

Quindi, sia che “ja” significhi sì, sia che significhi no, Sincero e Bugiardo rispondono “ja” alla domanda: "Se ti chiedessi se 1+1 fa 2, risponderesti “ja”?". Questo perché la risposta non dipende dalla domanda principale, ma da quella “interna“ (cioè, “1+1 fa 2?”). Se la domanda interna ha risposta positiva, sia Sincero che Bugiardo risponderanno “ja”. Se ha risposta negativa, risponderanno “da”. In sostanza, il significato esatto di “ja” e “da” non importa: ciò che conta è la verità o falsità della frase contenuta nella domanda. Il meccanismo funziona perché le doppie bugie si annullano tra loro e portano a una risposta coerente.

Ora che abbiamo capito come interpretare le risposte di Sincero e Bugiardo, andiamo di fronte ad uno degli dei e iniziamo le nostre tre domande.

Prima domanda: "Se ti chiedessi se il dio alla mia sinistra è Random, risponderesti "ja"?"

La prima cosa che dobbiamo cercare di fare è trovare un dio che non sia Random, così da poter ricavare qualche informazione con la seconda e terza domanda usando la tecnica che abbiamo visto prima. Quindi, ora, andiamo dal dio al centro e chiediamo:

Se ti chiedessi se il dio alla mia sinistra è Random, risponderesti "ja"?

A questo punto si aprono due possibilità:

• Se il dio al centro, quello con cui stiamo parlando, è Random, la sua risposta non ci sarà di nessuna utilità. In questo caso, però, avremo Sincero e Bugiardo a sinistra e a destra (oppure a destra e sinistra), quindi, se rivolgessimo la seconda e la terza domanda ad uno qualunque degli dei ai "lati" staremmo parlando con un dio che dà risposte coerenti e potremmo ricavare delle informazioni utili.
• Se invece abbiamo parlato con Sincero o con Bugiardo, Random potrebbe trovarsi sia a destra che a sinistra. In questo caso, se ponessimo la seconda e la terza domanda ad un dio ai "lati" non avremmo la certezza di aver ottenuto una risposta coerente. E questo è un bel problema! Per fortuna, se abbiamo parlato con Sincero o con Bugiardo, possiamo sfruttare la logica di prima per capire dove sta Random. Infatti, la risposta, anche se espressa con parole che non capiamo, ci permetterà di individuare la posizione di Random. Vediamo come.

Cosa fare in base alle risposte alla prima domanda

Con la prima domanda noi abbiamo chiesto al dio centrale: "Se ti chiedessi se il dio alla mia sinistra è Random, risponderesti "ja"?". In questo caso, la “domanda interna” è: “Il dio alla mia sinistra è Random?”.

Grazie a quello che abbiamo imparato sulla doppia bugia nel paragrafo precedente, sappiamo che se abbiamo chiesto a Sincero oppure a Bugiardo:

• se ci rispondono “ja”, allora la frase interna è vera: il dio a sinistra è Random;
• se ci rispondono “da”, allora la frase interna è falsa: il dio a sinistra non è Random, e quindi Random si deve trovare a destra.

Se invece abbiamo chiesto a Random, sia che abbia risposto "ja" o "da", il dio Random non sarà né a destra né a sinistra. Quindi, in qualunque caso, sia che chiediamo a Sincero, a Bugiardo o a Random:

• se ci rispondono “ja”, sicuramente il dio a destra non è Random.
• se la risposta è “da”, sicuramente il dio a sinistra non è Random.

Così, anche senza sapere chi mente, chi dice la verità, o cosa significhino “ja” e “da”, possiamo iniziare a capirci qualcosa.

Seconda domanda: "Se ti chiedessi "sei Sincero?", risponderesti "ja"?"

Ora ci rivolgiamo al dio che, grazie alla prima domanda, siamo certi non sia Random. Gli chiediamo:

Se ti chiedessi "Sei Sincero?", risponderesti "ja"?

Come abbiamo visto, se la risposta è “ja”, la frase interna ("Sei Sincero?") è vera, quindi stiamo parlando con Sincero. Se invece risponde “da”, la frase interna è falsa: stiamo parlando con Bugiardo.

Terza domanda: "Se ti chiedessi “Quello al centro è Random?”, risponderesti "ja"?”

A questo punto, chiediamo allo stesso dio, di cui ora conosciamo con certezza l’identità:

Se ti chiedessi “Quello al centro è Random?”, risponderesti "ja"?

In base alla sua risposta, ora possiamo sapere con certezza l’identità di tutti gli dei:

• Se con la seconda domanda abbiamo scoperto che stiamo parlando con Sincero, se ci risponde “ja” sappiamo che il dio al centro sarà Random e l’altro Bugiardo. Se invece con la seconda domanda abbiamo trovato Bugiardo, allora il dio al centro è comunque Random, ma l’altro sarà Sincero.
• Se ci risponde “da” e sappiamo dalla seconda domanda che stiamo parlando con Sincero, sappiamo che il dio al centro non sarà Random – e quindi è Bugiardo – e l'altro sarà Random. Se invece sappiamo di parlare con Bugiardo, allora, al centro avremo Sincero e Random sarà l’ultimo dio rimasto.

In tutti i casi, dopo questa terza domanda abbiamo identificato con certezza tutti e tre gli dei, senza neppure sapere cosa vogliano dire “ja” e “da”!