Smascherare frodi finanziarie con la matematica: cos’è la legge di Benford

La legge di Benford ci aiuta a smascherare con facilità le frodi finanziarie. Per farlo, si sa, bisogna guardare i numeri nei bilanci. Niente di nuovo, verrebbe da dire. Quello che sorprende è che, per iniziare, potrebbe non servire nemmeno analizzare ogni voce in dettaglio: basta osservare la prima cifra di ciascun numero. In molte raccolte di dati reali – come i bilanci aziendali, le popolazioni delle città o le lunghezze dei fiumi – la prima cifra dei numeri segue uno schema ben preciso, noto come legge di Benford. Secondo questa legge, derivata dall’osservazione empirica, la prima cifra dei numeri è un 1 circa nel 30% dei casi, un 2 circa nel 20%, un 3 circa nel 12% e così via, fino ad arrivare al 9, che dovrebbe comparire meno del 5% delle volte.

Questo fenomeno si osserva in una vastissima gamma di contesti – dai prezzi delle case, ai dati finanziari, alle lunghezze dei fiumi – e, se i numeri presenti nel bilancio aziendale non rispettano questa proprietà, potrebbe essere un indicatore di una potenziale truffa. Non a caso, la legge di Benford è oggi uno degli strumenti usati per individuare frodi finanziarie.

Cos’è la legge di Benford

La legge di Benford è un’osservazione empirica sul comportamento delle cifre nei dati numerici reali. Per capirla, partiamo da un esempio: i prezzi delle case. In Italia, molte abitazioni costano tra i 100.000 e i 300.000 euro, alcune superano i 400.000 e una piccola percentuale raggiunge e supera i 900.000. Quindi, se guardiamo tutte le case italiane, sarà molto più probabile che il prezzo della casa inizi con 1 (100.000 euro) o con 2 (200.000 euro), piuttosto che con 8 oppure 9. In particolare, se rispettano la legge di Benford, circa il 30% (30,1%) inizierà con 1, circa il 17% (17.6%) inizierà con 2, circa il 12% (12.5%) inizierà con 3 e così via, sempre a scendere, fino ad arrivare al 4.6% dei prezzi che inizieranno con 9.

La cosa incredibile è che questa proprietà non si trova solo nei prezzi delle case, ma anche nelle lunghezze dei fiumi, nelle popolazioni delle città, nei numeri riportati dai giornali, nei dati finanziari, nei pesi molecolari, nei risultati elettorali, persino nei numeri della sequenza di Fibonacci o nei tassi di mortalità.

La prima persona a notare questo comportamento fu Simon Newcomb nel 1881, ma fu il fisico Frank Benford, nel 1938, a studiarlo in modo sistematico: raccolse oltre 20.000 numeri da 20 ambiti diversi e chiamò "legge dei numeri anomali" questa strana regolarità, oggi nota con il suo nome.

Come la legge di Benford aiuta a smascherare le truffe finanziarie

L’idea di usare la legge di Benford per scoprire frodi finanziarie è arrivata solo molti anni dopo la sua formulazione. La figura più influente in quest’ambito è Mark Nigrini, docente alla West Virginia University. Già nel 1992, Nigrini propose di usarla per analizzare le dichiarazioni dei redditi: nella sua analisi notò che quelle regolari rispettavano la distribuzione prevista dalla legge, mentre nei casi sospetti la frequenza delle prime cifre era alterata. Da allora, la legge di Benford è diventata uno strumento utile anche per agenzie governative come l’IRS (Internal Revenue Service, l’ente fiscale degli Stati Uniti), che la utilizza da decenni per individuare manipolazioni nei dati contabili.

Un caso emblematico di applicazione della legge di Benford è quello di Enron, la multinazionale energetica crollata nel 2001 a causa di una massiccia truffa contabile. Per anni, l’azienda ha gonfiato i profitti e nascosto i debiti, truccando i bilanci per apparire più solida di quanto fosse. A truffa scoperta, Nigrini ha applicato la legge di Benford ai dati finanziari dell’azienda e ha riscontrato deviazioni evidenti, soprattutto nei rapporti sulle entrate. Purtroppo, l’analisi è arrivata troppo tardi: se fosse stata usata prima, avrebbe potuto far scattare i controlli ben prima del disastro.

Va però chiarito un punto fondamentale: la legge di Benford non è infallibile e non è applicabile in tutti i contesti. Il fatto che un insieme di dati non la rispetti non significa automaticamente che sia stato falsificato. Allo stesso modo, non tutte le truffe alterano le cifre in modo tale da violare la legge. Si tratta di uno strumento preliminare, un indicatore di possibile anomalia. Se i dati si discostano troppo dallo schema previsto, vale la pena indagare meglio, ma non è, da solo, una prova sufficiente in tribunale.

Alcuni casi in cui la distribuzione di Benford non funziona

La legge di Benford non vale per tutte le raccolte di dati reali. Pensiamo, ad esempio, all’altezza degli adulti espressa in centimetri: quasi tutti superano il metro, quindi i valori iniziano quasi sempre con 1. Nessuno è alto tre metri, e pochissimi superano i due. In questo caso, la distribuzione delle prime cifre è sbilanciata, e non riflette la legge di Benford.

Lo stesso vale per la taglia delle scarpe: i numeri sono concentrati in un intervallo ristretto, tra 20 e 50. Anche qui, le cifre iniziali non si distribuiscono secondo le percentuali previste dalla legge.

In generale, Benford funziona meglio quando i dati coprono diversi ordini di grandezza –  ad esempio, valori che spaziano da poche decine a centinaia di migliaia in modo uniforme, come accade nei bilanci aziendali. Più è ampio l’intervallo di ordini di grandezza coperto dai dati, più è probabile che la legge si applichi con precisione.

non perderti questo video

Cos’è la formula di Gauss e come permette di calcolare rapidamente lunghe somme