Su un’isola remota, vive una tribù che segue una regola ferrea: nessuno deve conoscere il colore dei propri occhi. Gli abitanti dell’isola sono 1000: 100 hanno gli occhi blu e 900 gli occhi marroni. Tuttavia, nessuno sa di che colore siano i propri occhi. Chiunque lo scopra deve partire immediatamente, salendo sul traghetto che ogni mattina si ferma sulla costa per portare via chi ha infranto la legge.
Per evitare di scoprirlo, non esistono specchi, l’acqua è conservata in recipienti opachi e parlare del colore degli occhi è severamente vietato. Inoltre, gli isolani sono estremamente intelligenti e sono tutti capaci di ragionare in modo logico.
Un giorno, un viaggiatore arriva sull’isola. Durante il banchetto in suo onore, pronuncia una frase che cambierà la vita sull’isola:
Che bello! Non sono l’unico qui ad avere gli occhi blu!
Questa affermazione su due piedi può sembrare inutile: il viaggiatore ha semplicemente notato che c'è almeno una persona con gli occhi blu. Su due piedi, non sembra che questa affermazione possa avere conseguenze, non c'è nulla di nuovo nelle parole del viaggiatore!
E invece… fa partire una catena di eventi inarrestabile: al 100esimo giorno dopo il banchetto, tutti gli isolani con gli occhi blu lasciano l’isola contemporaneamente. Ma perché? Lo scopriamo in questo articolo, in cui vediamo come alcuni problemi logici si possono risolvere con un principio chiamato induzione matematica, che consiste nel dimostrare un caso base e poi generalizzare la soluzione.
Partiamo quindi dal caso in cui ci sia solo una persona con gli occhi blu.
La soluzione se c'è solo una persona con gli occhi blu: va via dopo un giorno
Iniziamo con il caso più semplice: c’è una sola persona con gli occhi blu, che chiamiamo Andrea. Dopo la frase del viaggiatore, Andrea si guarda intorno e non vede nessuno con gli occhi blu. Quindi capisce che deve essere lui l’unico con gli occhi blu. Siccome ora sa con certezza il colore dei propri occhi, ha infranto la legge e la mattina dopo prende il traghetto per lasciare l’isola. Tutti gli altri potranno continuare a vivere sull’isola perché sapranno di non avere gli occhi blu, ma non sapranno con certezza di quale colore siano i propri occhi.
Se c’è una sola persona con gli occhi blu, lascerà l’isola il giorno dopo il banchetto.
Se ci sono due isolani con gli occhi blu, vanno via dopo due giorni
Ora immaginiamo che ci siano due isolani con gli occhi blu: Andrea e Beatrice. Entrambi vedono una sola persona con gli occhi blu (l’altro), ma non sanno di averli anche loro. Fanno questo ragionamento:
Se io non ho gli occhi blu, allora l’unica persona con gli occhi blu è l’altro, che partirà domani mattina.
La mattina successiva, però, Andrea e Beatrice vedono che nessuno ha lasciato l’isola. Questo significa che anche l’altra persona ha visto qualcuno con gli occhi blu e ha esitato per lo stesso motivo. E l'altra persona con gli occhi blu non possono che essere loro stessi, perché vedono chiaramente che tutti gli altri hanno gli occhi marroni. A questo punto, capiscono tutti e due di avere gli occhi blu e, la seconda mattina, salgono insieme sul traghetto.
Se ci sono due isolani con gli occhi blu, lasceranno l’isola due giorni dopo il banchetto.
Il ragionamento induttivo: cosa succede per 100 isolani con gli occhi blu
Ora immaginiamo che ci fosse stata una terza persona con gli occhi blu – oltre ad Andrea e Beatrice c'è Chiara – e proviamo a schematizzare il ragionamento, ricordando che gli abitanti dell'isola sono molto intelligenti e sono capaci di ragionamenti matematici:
- tutti e tre sanno che, se ci fosse stata una sola persona con gli occhi blu, se ne sarebbe andata dopo un giorno;
- sanno anche che, se ci fossero solo due persone con gli occhi blu, partirebbero al secondo giorno;
- Andrea, Beatrice e Chiara vedono ciascuno due persone con occhi blu e ragionano così:
Se al mattino del secondo giorno dopo il banchetto nessuno lascia l’isola, vuol dire che c’è una terza persona con gli occhi blu e che quella persona sono proprio io, perché non vedo nessun altra persona con gli occhi blu.
Quando arriva la mattina del secondo giorno e nessuno lascia l’isola, tutti e tre capiscono che ci sono non solo due, ma tre persone con gli occhi blu! E che sono proprio loro tre. Abbandonano quindi l’isola insieme al mattino del terzo giorno.
Questo ragionamento può essere esteso a qualunque numero di isolani con gli occhi blu: se sull’isola ci sono 100 persone dagli occhi blu, aspetteranno tutte fino al 99esimo giorno. Quando al mattino del 99esimo giorno nessuno lascerà l'isola, tutte e 100 capiranno di avere gli occhi blu. Quindi, partiranno tutte insieme al 100esimo giorno dopo il banchetto.
Il principio di induzione funziona proprio così: si dimostra il caso iniziale (quello in cui c’è un solo isolano con gli occhi blu) e poi si dimostra che se vale per n (in questo caso 99), allora vale anche per n+1 (in questo caso 100) e questo ci garantisce che il ragionamento potrà essere esteso a qualunque numero naturale. Se ci fossero 300 persone con gli occhi blu, per esempio, partirebbero dopo 300 giorni.
La soluzione dell'indovinello arriva grazie alla conoscenza comune
Chiunque legga questo indovinello, potrebbe fare la seguente obiezione:
Ma se c'è un uomo con gli occhi blu, gli altri isolani lo sapevano, già perché l'avevano visto! E tutto il ragionamento fatto varrebbe comunque. Il fatto che il viaggiatore l'abbia detto ad alta voce non cambia nulla!
E invece, in realtà, cambia tutto! Perché? Perché la frase del viaggiatore ha introdotto una nuova informazione cruciale: non tanto il fatto che esistano isolani con gli occhi blu, ma il fatto che tutti lo sappiano nello stesso istante. L’affermazione del viaggiatore ha trasformato la conoscenza individuale in conoscenza comune. Prima della sua frase, ogni persona con gli occhi blu sapeva che ce n’erano altri, ma nessuno sapeva che anche gli altri lo sapevano, perché sull’isola è severamente vietato discutere del colore degli occhi.
Dopo la dichiarazione del viaggiatore, tutti sanno che tutti sanno dell’esistenza degli occhi blu. Questo porta tutti gli isolani ad iniziare il ragionamento nello stesso istante e a partire con il conteggio dei giorni insieme. Solo così tutti possono avere la certezza che anche gli altri stiano facendo lo stesso ragionamento nello stesso momento e arrivare quindi a lasciare l'isola insieme.
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