Perché i numeri primi sono infiniti: la dimostrazione di Euclide di 2500 anni fa

Due, tre, cinque e sette sono numeri primi infatti ciascuno di essi è multiplo solo del numero uno e di se stesso. Di numeri di questo tipo ce ne sono molti e non esistono formule che permettano di calcolarli tutti, ma quanti sono davvero? La risposta a questa domanda ce l’ha fornita già 2500 anni fa il matematico greco Euclide, che dimostrò che i numeri primi sono infiniti. Vediamo come facciamo ad essere certi che siano proprio infiniti.

Cosa sono i numeri primi

Un numero primo è un

numero Naturale, più grande di 1, che è multiplo solo del numero uno e di se stesso.

Ma cosa significa? I numeri Naturali – detto nel modo più semplice possibile – sono quelli senza la virgola che si usano per contare (0, 1, 2, 3, 4 ecc.) e che possono essere moltiplicati tra di loro. Quando moltiplichiamo due numeri Naturali otteniamo come risultato un altro numero Naturale, ad esempio 3×4=12 e può capitare che alcune moltiplicazioni diano lo stesso risultato, infatti 3×4=12, ma anche 2×6=12 e 1×12=12. Il numero 12, quindi, è il risultato di diverse moltiplicazioni che vedono come protagonisti svariati numeri, il 3 ed il 4, il 2 ed il 6, l’1 ed il 12 stesso. In altre parole, 12 è multiplo di 1, 2, 3, 4, 6 e 12 e si trova nelle tabelline di tutti questi numeri.

Non tutti i numeri, però, sono come il 12. Ad esempio il numero 2 lo possiamo ottenere come risultato solo delle moltiplicazioni 2×1 e 1×2. Insomma, 2 è multiplo solo di 1 e di 2 (se stesso) e si trova solo nelle tabelline dell’1 e del 2: per questo motivo si dice che il 2 è un numero primo, al contrario del 12 che non è primo. In pratica i numeri o sono primi, o sono il risultato della moltiplicazione di almeno 2 numeri primi, come ci dice il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica.

Anche il numero 3 è un numero primo, infatti è il risultato solo di 3×1 e 1×3 e non si trova in nessun'altra tabellina. Ma quanti altri numeri di questo tipo ci sono? Lo vediamo prendendo ispirazione dalla dimostrazione data da Euclide circa 2500 anni fa.

La famosa dimostrazione per assurdo di Euclide

I numeri primi sono infiniti, e possiamo vederlo usando una versione semplificata della dimostrazione di Euclide. L’idea è questa, immaginiamo di conoscere tutti i possibili numeri numeri primi, ad esempio possiamo fare finta che 2, 3, e 5 siano tutti i numeri primi del mondo e costruiamo un potenziale nuovo numero primo che non sia multiplo di nessuno di loro. Per farlo, come suggerito da Euclide, moltiplichiamo tutti i nostri numeri primi tra di loro ed aggiungiamo 1 ottenendo 2×3×5+1=31, un numero che non può essere multiplo né di 2, né di 3, né di 5, vediamo perché.

Il numero 31 non può essere multiplo di 2 perché al numero 2×3×5, che è multiplo di 2, abbiamo aggiunto solo 1, mentre per trovare il successivo multiplo di 2 dovremmo aggiungere esattamente 2: i numeri della tabellina del 2, infatti, distano 2 l’uno dall’altro (2, 4, 6, 8, ecc.). Per lo stesso motivo il numero 31 non può essere multiplo di 3 perché partendo da 2×3×5 dovremmo aggiungere 3 per ottenere il prossimo multiplo di 3, aggiungere 1 è troppo poco. Analogamente possiamo affermare che 2×3×5+1=31 non è multiplo neanche di 5, ma allora di quali numeri è multiplo? In pratica ci sono due possibilità:

1. è esso stesso un numero primo,
2. è multiplo di almeno due numeri primi che non siano 2, 3 o 5.

In entrambi i casi possiamo concludere che esiste almeno un nuovo numero primo, diverso da 2, 3 e 5, che possiamo aggiungere al nostro elenco di numeri primi per poi ripetere la procedura e trovare un ulteriore nuovo numero. Nel nostro caso specifico 31 è effettivamente un numero primo e possiamo usarlo per ripetere la procedura. Questa volta partiamo da 2, 3, 5, 31 e costruiamo il numero 2×3×5×31+1=931 che a sua volta non può essere multiplo di 2, né di 3, né 5, né di 31 per gli stessi motivi di prima.

Il numero 931, in effetti, è il risultato della moltiplicazione 7×7×19, è quindi multiplo di 7 e 19 che sono a loro volta numeri primi e che possiamo aggiungere alla nostra lista per ripetere la procedura costruendo il numero 2×3×5×7×19×31+1 che non è multiplo di nessuno dei numeri primi che abbiamo elencato.

In pratica, ogni volta che pensiamo di aver trovato l'elenco di tutti i possibili numeri primi, moltiplicandoli tra di loro ed aggiungendo 1 possiamo trovare un nuovo numero che sia primo o multiplo di almeno due nuovi numeri primi che non erano nell'elenco: se i numeri primi fossero finiti con questo metodo potremmo sempre trovarne di nuovi, di conseguenza sono infiniti.

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