Perché moltiplicare un numero per zero fa 0

Perché moltiplicare per zero fa zero? Dal punto di vista intuitivo possiamo vederlo in diversi modi, ma esistono anche spiegazioni basate sulle regole matematiche. Vediamo una spiegazione concreta e quella matematica basata sulla proprietà distributiva e sul fatto che lo zero è l’unico elemento neutro della somma.

La moltiplicazione è un’operazione che può essere vista in maniera concreta in diversi modi e ciascuno di essi ci fornisce una spiegazione intuitiva del perché moltiplicare per zero dia come risultato zero. Ad esempio, possiamo vedere questa operazione dal punto di vista di un banchetto che distribuisce panini.

Esempi e spiegazione

Immaginiamo di avere un banchetto che distribuisce 2 panini ad ogni persona che si presenta, ed immaginiamo che si presentino 3 persone: dovremo distribuire 2 panini ×3 persone, ovvero 2×3. Dal punto di vista pratico possiamo farlo dando 2 panini alla 1° persona, poi 2 panini alla 2° persona e 2 panini alla 3° persona: in tutto abbiamo distribuito 2+2+2=6 panini e questo modo di interpretare la moltiplicazione può essere descritto come somma ripetuta.

Immaginiamo ora che non si presenti nessuno al nostro banchetto,  se proviamo a distribuire 2 panini a ciascuna delle 0 persone che si sono presentate (che corrisponde a calcolare 2×0) non riusciamo a distribuire alcun panino, l’azione di distribuire non viene proprio eseguita, e possiamo concludere che 2×0=0.

Immaginiamo infine che si presentino 2 persone ma che in totale ci siano rimasti 0 panini: in questo caso distribuiamo 0 panini a ciascuna delle 2 persone, ovvero 0+0=0 panini, quindi anche 0×2=0.

La risposta matematica

Esempi pratici come questo sono i benvenuti in matematica, se aiutano a capire, ma siamo sicuri che le cose funzionino bene anche cambiando tipo di esempio pratico? Per scongiurare questo pericolo i matematici cercano spiegazioni che si basino su fatti o regole matematiche, che siano indipendenti dalla particolare interpretazione concreta. Nel nostro caso, per spiegare perché un numero moltiplicato per zero fa zero, possiamo cavarcela utilizzando due nozioni matematiche:

1. zero è l’elemento neutro dell'addizione, per cui 3+0=3, 5+0=5, n+0=n, ovvero sommando zero ad un qualsiasi numero il risultato sarà il numero stesso e questa cosa funziona solo con lo zero.
2. la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione ci dice che A×(B+C)=A×B+A×C, ad esempio 2×(3+4)=2×3+2×4 

Partendo da queste nozioni immaginiamo di non conoscere il risultato di 3×0 e di voler scoprire qualcosa sul suo valore, possiamo provare a vedere cosa succede cambiando un po’ le carte in tavola, come segue:

• visto che 0+0=0, allora calcolare 3×0 è la stessa cosa che calcolare 3×(0+0)
• per la proprietà distributiva calcolare 3×(0+0) da lo stesso risultato che calcolare 3×0+3×0
• quindi 3×0=3×(0+0)=3×0+3×0, ovvero 3×0+3×0 da lo stesso risultato di 3×0, sono lo stesso numero.

Abbiamo quindi scoperto che se sommiamo 3×0 a se stesso il risultato è nuovamente 3×0, in altre parole quando sommiamo 3×0 a 3×0 lo lascia invariato proprio come se 3×0 fosse l’elemento neutro della somma, ma noi sappiamo esiste un solo elemento neutro per la somma, ovvero il numero 0, di conseguenza il risultato di 3×0 deve per forza essere 0.

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