Quanto è grande l’infinito? Esistono infiniti più grandi di altri

I numeri sono infiniti, è una cosa che sappiamo tutti sin da piccoli da quando capiamo che quando contiamo possiamo andare avanti senza fermarci mai. Ma… quanto è infinito l’infinito? L'infinito, espresso dal simbolo ∞, è un concetto e un'astrazione matematica che indica una grandezza illimitatamente grande. Dovete sapere che esistono infiniti più grandi e infiniti più piccoli. Su due piedi, verrebbe da chiedersi come sia possibile che qualcosa che non finisce mai può essere più piccolo di qualcos'altro.

Cerchiamo di capirlo partendo dalla prima cosa matematica che abbiamo imparato a fare: contare! È infatti provando a contare, o meglio numerare, gli insiemi infiniti che ne scopriamo le proprietà e anche che esistono insiemi infinitamente grandi che rifiutano di farsi contare.

Contare significa ordinare e numerare

Immaginiamo di dover contare i due mucchietti di palline della figura per stabilire quale dei due contiene più palline.

Così a prima vista non è immediato riuscire a farlo, ma se noi spostiamo le palline di ogni mucchietto e le mettiamo in fila, una dietro l’altra, possiamo poi numerarle in modo crescente seguendo l’ordine della fila, come nella figura sotto. Una volta finito, l’ultimo numero di ogni fila ci dice esattamente quante palline ci sono nel mucchietto e possiamo così confrontarli facilmente.

Usando un linguaggio un po’ più matematico possiamo dire che abbiamo numerato i due mucchietti usando i numeri 1, 2, 3, 4 … ovvero i numeri che si usano per contare e che i matematici chiamano numeri Naturali. Comunque, non è stato così semplice e per riuscire a farlo abbiamo prima dovuto mettere le palline ben in ordine una dietro l’altra. Con le palline è tutto facile ma se provassimo a contare i granelli di sabbia di una spiaggia, questi ci sfuggirebbero continuamente di mano facendoci perdere il conto. Ecco in matematica con gli insiemi infiniti succede qualcosa di simile: ve ne sono alcuni che si riescono a contare, come le palline, e altri più capricciosi che, come la sabbia, non si fanno contare!

Cosa significa contare un insieme infinito?

Ma cosa vuol dire contare un insieme infinito? Lo vediamo con il caso semplice dei numeri pari. Per “contarli” basta metterli in ordine – ad esempio seguendo la tabellina del 2 come abbiamo fatto nella figura sotto – e poi segnare ciascuno di loro con un numero naturale partendo da 1. Il 2 sarà il primo numero, il 4 il secondo eccetera.

Se immaginiamo di poter andare avanti all’infinito, ogni numero pari sarà segnato con un numero Naturale. Ad esempio, il numero pari 1000 sarà il 500° numero che contiamo e così via, non ce ce sfuggirà neanche uno: per questo motivo si dice che i numeri pari sono numerabili. In matematichese se un insieme si chiama numerabile, possiamo contarne gli elementi, cioè siamo in grado di metterli tutti in ordine segnandoli uno ad uno con un numero naturale.

Gli infiniti più grandi non si possono contare

Ma se i numeri pari si riescono a contare, come le palline, quale può essere un insieme così grande da non poter neanche essere contato? In realtà non bisogna andare tanto lontano per trovarne un esempio. Il matematico tedesco Georg Cantor nel XX secolo dimostrò che i numeri decimali compresi tra 0 ed 1 sono talmente grandi da non poter essere contati. Cioè

l'insieme dei numeri decimali tra 0 e 1 è un infinito più grande dei numeri Naturali.

Sembra incredibile, no? Per capire questo concetto, proviamo a contare i numeri decimali tra 0 e 1.

Il trucco, come abbiamo visto, è riuscire a metterli in ordine, cioè in fila uno dopo l’altro. Va bene un ordine qualsiasi, non importa che siano in ordine di grandezza, non li stiamo misurando, ma solo contando! Non è facile, ma immaginiamo di esserci riusciti, potremo allora scrivere un elenco numerato infinito che li contiene tutti, ma proprio tutti. Avremmo quindi un 1° numero della lista, un 2° un 3° e così via, una cosa del tipo:

1. 0.3713802846156317…
2. 0.7612323985243269…
3. 0.9348795729723579…
4. 0.4987526363532986…
5. ….

Con un po' di fantasia possiamo immaginare che il nostro elenco contenga tutti i numeri decimali compresi tra 0 ed 1, nessuno escluso. Fin qui tutto facile, ma ora entra in gioco un procedimento inventato proprio da Cantor, grazie al quale possiamo iniziare a costruire un nuovo numero dello stesso tipo, che però non si trova nell'elenco. Procediamo così:

• come 1° cifra dopo la virgola prendiamo una cifra a caso, ad esempio, 9 che sia diversa dalla 1° cifra del 1° numero (3) così il nostro numero sarà certamente diverso dal 1° numero dell’elenco;
• come 2° cifra dopo la virgola prendiamo 7 che è diversa dalla 2° cifra del 2° numero (6) così il nostro numero sarà certamente diverso anche dal 2° numero dell’elenco;
• come 3° cifra dopo la virgola prendiamo 1 che è diversa dalla 3° cifra del 3° numero (4) così il nostro numero sarà certamente diverso anche dal 3° numero dell’elenco;
• continuiamo questa procedura all’infinito.

Il nostro nuovo numero inizia con 0.971…, ha un numero infinito di cifre, ed è diverso da tutti i numeri dell’elenco, quindi anche se potessimo controllare tutto l’elenco non lo troveremmo: è insomma un granello di sabbia che ci è sfuggito dalle mani! Di numeri come questo, ne possiamo costruire infiniti, basta ripetere la procedura scegliendo, passo passo, cifre sempre diverse.

Siamo partiti con un elenco che conteneva tutti (ma proprio tutti!) i numeri con infinite cifre dopo la virgola, e ci siamo ritrovati ad avere in mano un’infinità di nuovi numeri che non si trovano nell'elenco, lo stesso elenco che avrebbe dovuto contenerli tutti: in pratica questi numeri sono così tanti che è impossibile metterli in fila uno dietro l’altro e quindi è impossibile contarli, non potremmo farlo neanche se avessimo a disposizione l’eternità! Ecco che abbiamo scoperto una quantità capricciosa che rifiuta di farsi contare e che in matematichese si dice non numerabile: abbiamo scoperto un nuovo infinito, più grande di quello dei numeri naturali!