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Siete sicuri di sapere cosa vuol dire “infinito”?  Oggi proviamo a sfidarvi facendovi fare un esperimento.
Tranquilli, non c’è niente di rischioso perché si tratta di un esperimento mentale, un test che possiamo fare sfruttando esclusivamente la nostra immaginazione: il Paradosso del Grand Hotel con infinite stanze. Questo esperimento fu elaborato dal matematico David Hilbert nel 1924 per mostrare alcune caratteristiche del concetto di infinito e le differenze tra tipi di operazioni svolte con insiemi finiti e infiniti.
Possiamo riassumerlo con una domanda: immaginate di avere un hotel con infinite stanze, tutte occupate. Se iniziano ad arrivare nuovi clienti, è possibile ospitarli?
La risposta potrebbe essere molto più complessa di quanto sembri! Vediamola insieme.

L'esposizione del paradosso, primo livello

Immaginiamo di essere Tony, il simpatico receptionist che può risolvere tutti i problemi e che lavora in un hotel infinito.
Un giorno Tony è dietro al bancone della hall e si trova con l’hotel completamente pieno, quindi con un numero infinito e contabile di ospiti che occupano tutte le infinite stanze. Il numero delle stanze dell’albergo è uguale al numero degli ospiti.

hotel_receptionist

Ma poi, durante una giornata di lavoro, un nuovo cliente entra nella hall e chiede di poter avere una stanza. Ma l’hotel non era pieno? Come si fa?
Se stai pensando “beh, basta che si metta nell’ultima stanza e siamo a posto”, sappi che no, non può farlo. Visto che le stanze sono infinite, non c’è un’ultima “stanza vuota”, sono tutte occupate.
Vediamo qual è la soluzione che trova: Tony chiede all’ospite nella stanza numero 1, di muoversi nella 2, alla signora della 2 di spostarsi alla 3, all’ospite della 3 di spostarsi alla 4 e procede così per tutti gli altri. Ogni ospite si sposta dunque dalla propria camera che possiamo chiamare “n” alla camera “n+1”. Siccome ci sono infinite stanze, ce n’è una nuova per ogni cliente.
In questo modo riesce a far liberare la stanza numero 1, in cui può andare a dormire il nuovo cliente.

cliente_nuovo_stanza_hotel

Ecco il paradosso: anche ora che si è aggiunta una persona il numero delle stanze corrisponde al numero degli ospiti che le occupano.
Lo stesso procedimento applicato al nuovo cliente può essere ripetuto per ogni numero finito di nuovi ospiti. 1,2,3,4,5, anche 50 o 500 nuovi ospiti.

Secondo livello di difficoltà

Arriviamo però a un caso più bizzarro, passiamo al livello di difficoltà successivo.
Un giorno Tony vede arrivare davanti all’hotel un treno infinito, lunghissimo! Questo infinito treno porta con sé infiniti altri ospiti, tutti che vogliono alloggiare proprio nell’Hotel.
All’inizio, chiaramente, Tony si spaventa parecchio. Dove metterà tutte queste persone?!

ospiti_treno

Anche qui il nostro receptionist trova una soluzione: il trucco è chiedere all’ospite nella stanza 1 di spostarsi alla stanza 2, a quello della stanza 2 di spostarsi alla 4, a quello della 3 di spostarsi alla stanza 6. Praticamente Tony sta chiedendo ad ogni ospite di spostarsi dalla stanza di partenza “n” alla stanza “n x 2”.
Questo metodo funziona molto bene perché in questo modo si riescono a riempire le infinite stanze contrassegnate da numeri pari (proprio facendo nx2) e, allo stesso tempo, a lasciare libere tutte le infinite camere dispari! Così facendo gli infiniti nuovi ospiti potranno alloggiare in infinite stanze, tutte contrassegnate da numeri dispari.

Il terzo livello del paradosso

Ma con tutto questo successo, tantissime persone vogliono alloggiare all'Hotel di Tony!
La voce si sparge e quindi un bel giorno davanti all’hotel si presentano infiniti treni con un numero infinito (ma sempre contabile) di passeggeri!
Ora come fa Tony a sistemarli tutti?
Questa volta la soluzione non è proprio intuitiva – non che negli altri casi fosse proprio una passeggiata – ma qui siamo proprio a un livello di difficoltà ancora maggiore e per risolvere l’enigma dobbiamo usare numeri primi e potenze. Partiamo dagli ospiti che già sono nell’hotel.

stanze_infinit_hotel_hilbert

Ognuno di loro deve andare nella stanza “2 elevato al numero della loro camera. Perché 2? Perché questo metodo si basa sui numeri primi e 2 è il primo numero primo. Cioè, chi è nella camera 4 andrà nella stanza 24, quindi 16, chi è nella camera 10 andrà nella stanza 210, cioè nella 1024.
Stessa cosa per i passeggeri negli infiniti treni, cambiano solamente i numeri primi che fanno da base alla potenza.

sedute_treno_passeggeri

Ad esempio, chi è nel primo treno andrà nella stanza numerata con il successivo numero primo (quindi il 3) elevato al suo numero di sedile (ad esempio il 15). Quindi finirà nella stanza 315 che è la 14.348.907. Chi si trova negli altri treni farà la stessa cosa ma proseguendo con gli altri numeri primi, cioè 5, 7, 11, 13, 17 ecc. Non ci sarà mai sovrapposizione di stanze in questo modo ma, incredibilmente, ci saranno addirittura stanze vuote!

Come fanno a rimanere stanze vuote?

Prendiamo infatti il caso di… Ambrogio, un ospite dell'hotel, che inizialmente era nella stanza 6 e – tramite il meccanismo che abbiamo poco fa – viene spostato nella stanza 26 ovvero la numero 64. La stanza 6 però rimarrà vuota e non verrà occupata da altri avventori perché 6 non è una potenza di un numero primo! Cioè se prendo un qualsiasi numero primo e lo provo a elevare a un qualsiasi altro numero, non otterrò mai 6. Quindi stanza vuota.

stanza_6_vuota

Nonostante il vuoto lasciato in alcune stanze, i proprietari dell’Hotel sicuramente non si arrabbieranno con Tony, il suo lavoro da receptionist è stato comunque eccezionale.
Avete infatti dimostrato che anche se l’albergo infinito è tutto occupato, è sempre possibile ospitare un numero infinito di nuovi clienti.

Esistono vari tipi di infinito

Come è possibile che si sia risolto l'assurdo paradosso di Hilbert?
Semplice, il receptionist Tony ha sempre avuto a che fare con i numeri naturali (1,2,3,4,5,6 ecc) che sono contabili, sono cioè – in termini matematici – un insieme discreto.
Pensate che quello dei numeri naturali è uno dei tipi più semplici di infinito teorizzati dalla matematica!
Questo insieme infinito infatti non comprende i numeri interi negativi (-1,-2,-3 ecc), i numeri razionali (quelli riconducibili a frazione come ⅔ o -¼ ), quelli reali con le radici e i numeri complessi, che appunto, sono davvero super complessi.

Quindi quando parliamo di infinito non dobbiamo pensare a una cosa sola. Esistono moltissimi di tipi di infinito e alcuni infiniti sono più grandi di altri!

Articolo a cura di
Camilla Ferrario