Il paradosso dell’area scomparsa e quello della barretta di cioccolato infinita

Avete mai visto quei video in cui, scomponendo e ricomponendo delle forme geometriche, qualcosa non torna? Ci sono sempre dei pezzettini in più o in meno rispetto a quelli che ci aspetteremmo! Ecco, oggi proviamo a capire due di questi strani meccanismi, che altro non sono che dei veri e propri paradossi geometrici: il paradosso dell'area scomparsa e il paradosso della barretta di cioccolato infinita.

L'area scomparsa

Guardando questa immagine, qualcosa vi sembrerà strano: le due figure sono composte esattamente dagli stessi pezzi, che riconosciamo facilmente grazie ai colori utilizzati per le coppie uguali, eppure nella figura più in basso "manca", o meglio, sembra mancare un pezzo. Com'è possibile che il triangolo in alto sia composto dalla stessa area della figura in basso? Non dovrebbero essere due triangoli uguali? Ecco il nome del paradosso: c'è un quadratino bianco che manca: è l'area scomparsa.

La spiegazione del paradosso

Sveliamo l'arcano: quelli in figura non sono affatto due triangoli, né il primo né il secondo. Infatti, se misurassimo adeguatamente tutti gli angoli della figura più in alto scopriremmo che si tratta in realtà di un quadrilatero! Infatti c'è un quarto angolo nascosto oltre a quello retto (in basso a destra) e i due acuti (uno in alto a destra e l'altro in basso a sinistra): questo si trova dove pensavamo ci fosse l'ipotenusa del triangolo, come visibile qui sotto.

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Di Camilla Ferrario

Si tratta di un angolo concavo, maggiore di 180° e dunque, la prima figura è un quadrilatero concavo. Provate pure con un righello e vedrete che la linea che sembra essere continua tra l'area blu e quella rossa è in realtà spezzata. Per questo motivo il paradosso è noto anche come "del cuneo" o "della forma incuneata": quello che ci appare come un triangolo è una quadrilatero concavo.
Ecco dunque quali sono le due aree mancanti, che sono equivalenti: l'area che vedevamo mancare della figura in basso (il quadratino) copre la stessa superficie, spalmata in modo diverso, dell'area mancante al quadrilatero in alto.

Paradosso risolto!

Il paradosso della barretta di cioccolato infinita

Parliamo ora di quel paradosso che sembra permetterci di creare cioccolato dal nulla! Sembra, perché anche in questo caso vedremo che in realtà è solo questione del nostro modo di percepire la figura. Come possiamo vedere qui sotto, ci illude che sia possibile generare cioccolato spezzando la barretta in un determinato punto. Ma come funziona davvero? Dov'è l'inghippo?

Riproduzione e spiegazione del paradosso

Ma veniamo a noi e proviamo a ripetere graficamente l'esperimento, anche se voi potreste provarlo a casa con una barretta vera: prendiamo una barretta di cioccolato 6×4 come nella raffigurazione qui sotto.

Dopodiché tagliamo lungo le linee gialle la barretta in modo da ottenere quattro parti diverse (contrassegnate in figura da colori differenti).

Infine spostiamo i vari pezzi: il pezzo viola rimane alla base, si stacca il quadratino marrone e si invertono i posti della parte verde e quella blu. Così si ottiene nuovamente una barretta, e il quadratino marrone sembra essere "avanzato".

Ma come è facilmente visibile, la barretta con cui ci ritroviamo è proprio più corta di quella iniziale e quella che prima era una riga di quadratini, ora è una riga di piccoli rettangoli!

Ancora una volta quindi niente è stato creato dal nulla, ma – piuttosto – abbiamo ingannato i nostri occhi!