Se 100 rane saltano su 100 lampadine, quante ne restano accese? La soluzione all’indovinello

L'indovinello delle 100 lampadine e delle 100 rane è un rompicapo ingegnoso e divertente, non solo perché stimola il nostro ragionamento, ma anche perché la sua soluzione ci insegna una verità matematica!
La situazione è questa: sono 100 lampadine tutte in fila, inizialmente spente, e 100 rane che le accendono e spengono saltandoci sopra. Ogni volta che una rana salta su una lampadina spenta questa si accende, e viceversa. Le rane, però, saltano sulle lampadine con una precisa logica: sia le lampadine che le rane sono numerate da 1 a 100 e ogni rana salta solo sulle lampadine che sono associate a un numero multiplo del proprio numero.

Quante lampadine rimangono accese dopo che anche la 100-esima rana ha fatto il suo lavoro? Cerchiamo di capirlo insieme.

L'indovinello delle 100 rane e 100 lampadine: quali restano accese?

Pariamo dalla prima rana. Il numero a lei assegnato sarà l'1 e quindi, dato che qualsiasi numero intero è divisibile per 1, tutti i numeri da 2 a 100 sono suoi multipli! Per questo, la prima rana salterà su tutte le lampadine, una alla volta, accendendole tutte.
La seconda rana, invece, salterà solo sulle lampadine pari, cioè quelle multiple di 2. Insomma, salterà due lampadine alla volta, e dato che la rana numero 1 aveva acceso tutte le lampadine, la seconda rana spegnerà tutte quelle su cui si ritroverà a saltare. Inizia dalla seconda, spegnendola, poi salta sulla quarta e così via spegnendo tutte le lampadine pari.
La terza rana riesce a saltare tre lampadine alla volta (i multipli di 3!) e salta sulla numero 3, la numero 6, la 9 e così via. La quarta rana salta 4 lampadine alla volta, la quinta rana 5 lampadine alla volta, e così via fino alla centesima rana che salta direttamente sulla lampadina numero 100.

Ma mentre per la prima e la seconda rana era facile stabilire quali lampadine avrebbero acceso e quali avrebbero spento – la prima le accendeva tutte, mentre la seconda ha spento quelle pari – per le restanti rane la situazione si fa un pò più complessa!

Pensiamo per esempio alla terza rana. Quando salta sulla terza luce la spegnerà, perché era stata accesa dalla prima rana, mentre la seconda rana non l'ha toccata essendo il 3 dispari. Quando però la terza rana arriva sulla sesta lampadina – dato che 6 è multiplo di 3 – la accenderà! Questo perché la sesta lampadina, al contrario della terza, è stata già toccata sia dalla prima che dalla seconda rana, che l'hanno quindi accesa e poi spenta, per poi arrivare alla terza rana che, appunto, la accende.

Insomma… che confusione. Come facciamo a rispondere alla domanda:

Dopo che tutte le rane avranno saltato, quali lampadine risulteranno accese?

Per provare a dare una risposta, partiamo da una versione semplificata dell'indovinello

L'indovinello delle rane e delle lampade: cosa succede se sono solo 6?

Immaginiamo che le lampadine e le rane non siano 100, ma soltanto 6. In questo caso ci basta pensare ai numeri da 1 a 6 e a quali sono i loro divisori:

• 1 è multiplo solo di 1, per cui verrà accesa dalla prima rana e rimarrà accesa;
• 2 è multiplo di 1 e di 2 e quindi sarà pigiata due volte, cioè accesa e spenta, per cui rimarrà spenta;
• la stessa cosa del 2 vale per il 3 che, essendo primo, è diviso solo da 1 e se stesso e quindi rimarrà spento;
• 4 è multiplo di tre numeri: 1, 2 e 4, e quindi si ritroverà acceso;
• 5, così come 2 e 3, è primo e dunque per lo stesso motivo resterà spento;
• arriviamo così al 6, che essendo multiplo di quattro numeri – 1, 2, 3 e 6 – verrà pigiato 4 volte terminando spento.

Alla fine, dopo il passaggio della sesta rana, le lampadine rimaste accese sono solo la numero 1 e la numero 4: ma cosa hanno di diverso dalle altre? Sulla lampadina numero 1 salta solo la prima rana, mentre sulla numero 4 saltano 3 rane (la 1, la 2 e la 4). In entrambi i casi si tratta di un numero dispari di rane, in tutti gli altri casi il numero di rane che saltano sulle lampadine è pari: due per le lampadine numero 2, 3 e 5, mentre sulla lampadina numero 6 saltano ben quattro rane. D’altronde, se inizialmente una lampadina è spenta, ogni volta che vi saltano sopra 2 rane verrà prima accesa e poi spenta, e per accenderla di nuovo dovrebbe sopra un’altra rana. Di conseguenza, per far rimanere accesa una lampadina, c’è bisogno che ci saltino sopra un numero dispari di rane.

E questo è un enorme indizio! Se la lampadina rimane accesa quando ci saltano sopra un numero dispari di rane, significa che rimangono accese le lampadine che hanno un numero dispari di divisori! Ma come facciamo a capire quali numeri compresi tra 1 e 100 hanno un numero dispari di divisori? Esiste una regola generale?

La soluzione all'indovinello delle 100 rane e 100 lampadine e la regola dei quadrati perfetti

Ebbene… sì! Esiste una regola generale, una legge matematica!
Per capirla, partiamo dall'esempio dell'indovinello ridotto delle 6 lampadine. Le uniche due ad essere rimaste accese sono state la 1 e la 4. Che cosa hanno in comune? Sono gli unici quadrati perfetti compresi tra 1 e 6! E questa potrebbe essere la chiave di lettura di cui avevamo bisogno.

Grazie all'indovinello con solo 6 lampadine, siamo arrivati a capire che per rimanere accesa, una lampadina, aveva bisogno di essere "saltata" un numero dispari di volte, e quindi essere abbinata a un numero da 1 a 100 che avesse un numero dispari di divisori. È possibile che siano proprio tutti e soli i quadrati perfetti – cioè quei numeri ottenuti da un numero intero moltiplicato per se stesso – ad avere un numero dispari di divisori?

Proviamo a ragionarci sopra con alcuni esempi. Qualsiasi numero – per esempio il 15 – può essere scritto come moltiplicazione tra due numeri diversi tra loro – 15 infatti è 3 × 5. E nel caso dei numeri primi, cioè quei numeri interi che hanno solo due divisori cioè 1 e se stessi, come ad esempio il 5? Beh, abbiamo già risposto dentro alla frase: 5 può essere scritto come 5 × 1.

Insomma per qualsiasi numero naturale può essere trovata una coppia di numeri naturali che, moltiplicati tra loro, danno come risultato proprio quel numero. Nel caso dei numeri primi, questa coppia è una sola e i divisori sono solo 2, mentre nel caso di numeri più grandi possono essere trovate più coppie e il nostro numero avrà tanti divisori quante coppie! Per capirci, facciamo un esempio: il numero 24 può essere scritto come 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4× 6 e infatti ha 8 divisori: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.

Se però consideriamo un quadrato perfetto, una di queste coppie conterrà… un solo numero! Prendiamo per esempio il numero 16, cioè 4 alla seconda. Può essere scritto come  1 × 16, 2 × 8, 4 × 4. Questo significa che la terza coppia di multipli non fornisce due multipli, ma uno solo! Cioè il 4.

In sostanza i numeri che hanno una quantità dispari di divisori sono solo i quadrati perfetti, come il 4 ed il 16, per cui la soluzione dell'indovinello è che:

Alla fine saranno accese tutte le lampadine corrispondenti ai numeri quadrati compresi tra 1 e 100, ovvero le numero 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Tutte le altre lampadine saranno spente.