Cos’è la Bottiglia di Klein e perché non ha un dentro e un fuori

La bottiglia di Klein, descritta per la prima volta dal matematico tedesco Felix Klein nel 1882, è un superficie, ovvero una forma geometrica bidimensionale parente della ciambella, che però non è orientabile, infatti ha solo una faccia e nonostante ci sembri chiusa non ha un dentro e non ha un fuori, proprio come il più famoso nastro di Möbius. Vediamo come è fatta e spieghiamo queste sue strane proprietà.

La bottiglia di Klein è una superficie, come possono esserlo oggetti geometrici come la sfera (vuota) ed il piano. Si tratta di forme geometriche di dimensione 2, le versioni astratte di oggetti concreti come la palla, e i fogli di carta. La bottiglia di Klein però è un po’ strana rispetto a queste superfici. Si tratta di una figura geometrica che può essere vista come una specie di ciambella, in matematichese toro. Per costruire una ciambella possiamo prendere un tubo, piegarlo un po’, e unire le sue estremità in maniera da farle combaciare come illustrato nella figura sotto.

In alternativa possiamo, come nella parte bassa della figura, cercare di far scorrere le due estremità l’una sull’altra, fino a farle combaciare, realizzando proprio una bottiglia di Klein. Tuttavia per effettuare questa operazione, un pezzo di tubo sembra dover necessariamente entrare dentro l’altro, ed infatti tutte le rappresentazioni della bottiglia di Klein prevedono che una parte del tubo si infili nell’altra, come nella figura sotto.

Il fatto però è che la vera Bottiglia di Klein, non prevede che le sue parti si compenetrino, a differenza di quanto si vede in tutte le sue rappresentazioni: ma come è possibile?

Il realtà per costruire questa superficie non bastano 3 dimensioni, ma ne servono 4, ma le nostre rappresentazioni grafiche (o scultoree) non riescono ad andare oltre la terza dimensione: si tratta di qualcosa difficile da immaginare ma che in matematica non è così inusuale. Proviamo a capire l'esempio più semplice di una circonferenza e un segmento disegnati su un foglio di carta come nella figura sotto. Per congiungere le due estremità del segmento, rimanendo sul piano del foglio, dobbiamo per forza attraversare la circonferenza (vedi la parte sopra della figura). Se invece (vedi parte sotto della figura) permettiamo alle estremità del segmento di uscire dal foglio di carta e scavalcare la circonferenza passandoci sopra, allora è possibile congiungere le due estremità senza alcuna compenetrazione. Muovendoci in 3 dimensioni invece che in due siamo riusciti a congiungere le due estremità.

Una cosa analoga accade per la bottiglia di Klein, solo che invece che da 2 a 3 dimensioni dobbiamo passare da 3 a 4 dimensioni. Questo è il motivo per cui tutte le rappresentazioni della bottiglia di Klein che vediamo, immagini o sculture, sono tutte sbagliate, visto che prevedono sempre parti che si compenetrano.

Questa però non è l’unica stranezza della bottiglia di Klein, visto che, a differenza di sfere, cilindri e piani è una superficie non orientabile. Se prendiamo un foglio di carta, infatti, possiamo sempre colorare una faccia di un colore e l’altra di un altro colore, senza che i due diversi colori si tocchino se non sul bordo del foglio.

Allo stesso modo possiamo immaginare di colorare l’interno di una palla di un colore e l’esterno di un altro, senza che i due colori si tocchino mai. Questa cosa non è possibile con la bottiglia di Klein e per questo i matematici dicono che non è orientabile a differenza di sfere e piani che sono invece superfici orientabili.

Si tratta quindi di una superficie bidimensionale non orientabile proprio come il nastro di Möbius, una figura famosa proprio perché non ha interno ed esterno e può essere vista come una strada che non finisce mai. Sul nastro di Möbius è possibile partire da un punto e, camminando senza mai attraversare i bordi, ritornare sullo stesso punto ritrovandosi dalla parte opposta della superficie. Se poi si continua a camminare andando sempre avanti si riesce a tornare al punto di partenza, dalla stessa parte del nastro. Il nastro di Möbius, infatti, non ha due lati ma ne ha uno solo, proprio come la Bottiglia di Klein. Nella figura sotto abbiamo tracciato il percorso di una formica che, cammina cammina, passa da quello che sembra l’esterno della superficie a quello che sembra l’interno della superficie. In particolare si può vedere come passi due volte per lo stesso punto della Bottiglia (in alto), una volta da una parte ed una volta dall’altra della superficie.

Se la formica camminasse su una sfera, invece, non potrebbe passare dall’esterno all’interno semplicemente camminandoci. In pratica nel caso della bottiglia di Klein non possiamo veramente parlare di esterno ed interno, perché i due lati della superficie sono collegati: la superficie ha un solo lato, non due, è per questo che abbiamo usato la parola "sembra" riferita all'esterno ed all'interno. È un po’ come se la Bottiglia di Klein fosse una versione senza bordo del Nastro di Möbius, e in un certo senso è proprio così perché se la tagliamo in due parti (vedi figura sotto), lungo il suo piano di simmetria, otteniamo proprio due nastri di Möbius che a loro volta, incollati lungo il bordo, danno vita proprio ad una Bottiglia di Klein.

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