Il gioco di carte Dobble – ideato nel 2009 da Denis Blanchot e Guillaume Gille-Naves – è basato su velocità, osservazione e riflessi, possono giocare da 2 a 8 giocatori e esistono 5 modalità principali. Il mazzo è composto da 55 carte rotonde, ciascuna con 8 simboli, e qualsiasi coppia di carte pescata a caso condivide sempre un unico simbolo. L’obiettivo è individuare rapidamente il simbolo comune e prendere, scartare o piazzare la carta a seconda delle regole del mini-gioco scelto. Ma come è possibile che ogni coppia di carte abbia sempre un simbolo in comune? La risposta sta nella struttura matematica alla base: i cosiddetti piani proiettivi finiti. In questo articolo vediamo come si gioca a Dobble, com’è possibile creare un mazzo di carte in cui ogni coppia di carte abbia un unico simbolo in comune e perché per farlo abbiamo bisogno di esattamente 57 simboli diversi tra loro.
Come si gioca a Dobble: le 5 modalità di gioco
Dobble è un gioco di carte da 2 a 8 giocatori e ha 5 modi ufficiali per giocare: “La torre infernale”, “Il pozzo”, “La patata bollente”, “Prendile tutte!” e “Il regalo avvelenato”. In ogni mini-gioco, la sfida è sempre la stessa: individuare il simbolo in comune tra due carte più velocemente degli altri, dirlo a voce alta e poi fare un'azione. Quale? Dipende dal mini-gioco scelto.
In "La torre infernale", per esempio, bisogna individuare il simbolo comune tra la carta che si ha di fronte a sé e il mazzo centrale, visibile a tutti. Se lo si trova prima degli altri, si prende la carta del mazzo centrale e la si mette sulla propria pila. L'obiettivo, qui, è accumulare il maggior numero di carte. Nel mini-gioco "Il pozzo", invece, i giocatori puntano a scartare le proprie carte fino a finirle tutte. In questo gioco, ad ogni turno, si gira la prima carta del proprio mazzo e si cerca il simbolo comune con una carta posta al centro del tavolo. Chi lo trova per primo dichiara il simbolo in comune e poi piazza la propria carta sopra quella al centro. Ma com'è costruito il mazzo per garantirci che ogni coppia di carte condivida sempre un simbolo?
Il mazzo di Dobble più piccolo possibile: tre carte con due simboli
Per capire la logica dei mazzi di Dobble, iniziamo con una sua versione ridotta, cioè consideriamo il mazzo più semplice possibile: tre carte, ognuna con due dei tre simboli possibili. Per costruirlo, creiamo una carta contenente due simboli, ad esempio un sole e un fulmine. Per la seconda carta, vogliamo che condivida un simbolo con la prima, quindi mettiamo il sole, ma per renderla diversa inseriamo un altro simbolo, ad esempio una luna. La terza carta deve condividere un unico simbolo con ciascuna delle precedenti, quindi conterrà il fulmine (in comune con la prima) e la luna (in comune con la seconda).
In totale, abbiamo tre carte e tre simboli distinti. Possiamo quindi rappresentare il nostro mazzo come un triangolo, dove i simboli sono i vertici e le carte sono i lati. In questo caso la carta con la luna e il sole corrisponderà al lato blu del triangolo, quella con una luna e un fulmine sarà il lato verde e infine quella con un fulmine e un sole il lato rosso. Ogni coppia di carte condivide un solo simbolo, proprio come ogni lato del triangolo ha un unico vertice in comune con gli altri. Il lato blu e il lato rosso, per esempio, hanno un solo punto in comune – il vertice con il sole – proprio come la carta blu e la carta rossa hanno in comune solo il simbolo del sole. Adesso andiamo a complicare un po’ la situazione. Se invece di due simboli su ciascuna carta ne mettessimo tre?
Se mettiamo tre simboli per carta, abbiamo bisogno di sette carte
Se considerassimo un mazzo in cui su ogni carta ci sono 3 simboli, potremmo rappresentare di nuovo il nostro mazzo come un triangolo, ma aggiungendo delle linee in più.
Anche in questo caso, ciascuna carta corrisponde a una linea colorata e ogni carta ha in comune un solo elemento con le altre. La carta rossa (sole, fulmine, arcobaleno), per esempio, ha in comune soltanto l’arcobaleno con la carta gialla (arcobaleno, cuore, tondo) e questo vale per ogni coppia di carte, o di linee. Guardando la figura possiamo vedere che, per avere 3 simboli per ogni carta, abbiamo bisogno di creare un mazzo con 7 carte (ci sono 7 diverse linee colorate) e 7 simboli diversi in totale.
La struttura che ci permette di rappresentare il mazzo in questo modo, attraverso un diagramma, si chiama Piano di Fano, dal matematico italiano Gino Fano che l’ha studiata. Si tratta di un esempio di strutture chiamate piani proiettivi finiti e sfruttando le proprietà di queste strutture possiamo creare mazzi di Dobble con quanti simboli vogliamo per ogni carta. Per un mazzo con 8 simboli per ogni carta, come quello ufficiale di Dobble, avremo bisogno di 57 simboli diversi tra loro.
Per costruire il mazzo ufficiale di Dobble servono 57 simboli diversi tra loro
Come abbiamo detto, un mazzo di Dobble è rappresentabile con un piano proiettivo. Se volessimo rappresentare il mazzo ufficiale con il suo piano, otterremmo il grafico in figura, ben più complesso del piano di Fano che abbiamo visto prima.
Ma come abbiamo fatto ad arrivarci? Ogni piano proiettivo (e quindi ogni mazzo) è definito da un numero chiamato ordine. L’ordine corrisponde al numero di simboli su ogni carta, a cui va sottratto 1. Nel caso del Piano di Fano, avevamo 3 simboli su ogni carta, quindi l’ordine era 2 (= 3 – 1). Nel mazzo standard ci sono 8 simboli su ogni carta, quindi l’ordine del piano proiettivo è 7 (= 8 – 1). Quello nel grafico, infatti, è proprio un piano proiettivo di ordine 7.
Per sapere quante carte dovremo stampare in totale e quanti simboli diversi dovremo utilizzare, possiamo metterci a contare una a una le linee nel grafico oppure possiamo utilizzare una proprietà dei piani proiettivi che ci dice che il numero totale di linee e punti sul piano è dato dalla formula: ordine² + ordine + 1. Quindi, in un mazzo, il numero totale di carte (le linee) e il numero totale di simboli (i punti) possono essere ricavati applicando questa formula.
Nel piano di Fano, questo vuol dire che ci servono 7 (=2²+2+1) carte e 7 simboli diversi, proprio come abbiamo visto prima. Nel caso del mazzo standard di Dobble, avremo bisogno di 7²+7+1=49 + 7 + 1 = 57 simboli diversi tra loro e altrettante carte. Ma… le carte di Dobble sono solo 55! Com'è possibile?
Il motivo per cui ne "mancano" due è un mistero, non è stato chiarito dai produttori e potrebbe essere legato a ragioni tipografiche. Ma non è un problema, l'assenza di due carte non mette in discussione la teoria matematica: togliendo alcune carte dal mazzo, non smette di valere la regola di un simbolo in comune per ogni coppia di carte, ma vuol dire semplicemente che per ogni mazzo ci saranno dei simboli un po' più scomodi da trovare, perché saranno presenti in 7 carte invece che in 8.
Cerchiamo di capirlo prendendo come esempio il caso dei tre simboli e sette carte.
Se consideriamo il Piano di Fano e cancelliamo, per esempio, il lato verde, è come se avessimo eliminato dal mazzo la carta con sopra la luna, il cuore e il fulmine. Possiamo vedere dal diagramma che, nonostante questo, nessun simbolo è rimasto "isolato", ma è toccato da almeno due colori. Questo significa che ogni simbolo continua a comparire in una coppia di carte e il gioco continua a reggere. Quello che possiamo notare è che la luna, il cuore e il fulmine sono toccati da solo due colori, cioè al contrario degli altri simboli, compaiono in due carte e non su tre, per questo saranno più rari!
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