Fable 5 di Claude ha risolto la congettura Jacobiana, un famoso problema matematico aperto da 87 anni

Il modello Fable 5 di Claude, l'intelligenza artificiale sviluppata da Anthropic, ha trovato un esempio che confuta la congettura Jacobiana, un problema matematico rimasto aperto dal 1939. Ad annunciarlo è stato Levent Alpöge, matematico turco-americano. Mentre il mondo stava guardando la finale della Coppa del Mondo, Alpöge ha utilizzato Fable 5 per esplorare il problema e individuare un esempio capace di smentire la congettura, quello che in “matematichese” si chiama “controesempio”. Poco dopo ha condiviso il risultato su X, pubblicando anche il controesempio trovato, così che chiunque potesse verificarlo.

La scoperta si inserisce in una serie di risultati di matematica e fisica teorica ottenuti recentemente con l'aiuto dell’AI. Tra questi ci sono la chiusura della rappresentazione teorica del “jamming” e la dimostrazione del problema 1196 di Erdős. A differenza dei risultati precedenti, però, ad ora non sono ancora stati resi noti i dettagli su come Alpöge abbia guidato il modello di AI nella generazione del controesempio e su quanto tempo ci abbia messo l’AI per risolverlo. Il modello utilizzato, Fable 5, è il modello più avanzato distribuito commercialmente finora da Anthropic. Secondo l'azienda, supera i modelli precedenti nella maggior parte dei benchmark di intelligenza artificiale, dall'ingegneria del software all'analisi scientifica, dalla visione artificiale al ragionamento complesso su documenti.

Cos’è la congettura Jacobiana

Una congettura è un’idea matematica che sembra essere vera, ma che nessuno è ancora riuscito né a dimostrare né a confutare. Quella Jacobiana, in particolare, riguarda l’invertibilità delle funzioni ed è estremamente rilevante in tantissimi ambiti diversi della matematica, della fisica e dell’ingegneria.

Una funzione è una mappa che collega due insiemi e ne mette in relazione gli elementi. Per capire perché l’invertibilità di una funzione è importante, facciamo un esempio a partire dalla crittografia, la branca della matematica che studia come proteggere le informazioni. Immaginiamo che ci sia una funzione che collega l’insieme dei messaggi non cifrati con quello dei messaggi cifrati e che trasforma il messaggio "Ciao, come stai?" nella sequenza “Dlbm, dpnf tubh!”.

Se consegnamo al destinatario il nostro messaggio cifrato, lui, per capire cosa abbiamo scritto, avrà bisogno di una funzione che trasformi “Dlbm, dpnf tubh!” nuovamente in “Ciao, come stai?”. Questa funzione collega l’insieme dei messaggi cifrati con quello dei messaggi non cifrati ed è l’inversa della nostra funzione di partenza. Senza di essa, il nostro messaggio rimarrebbe incomprensibile.

Non tutte le funzioni, però, sono invertibili ed è qui che arriva la congettura Jacobiana.

La congettura Jacobiana ci dice che, se alcune condizioni vengono rispettate, le funzioni polinomiali (cioè quelle scritte così: f(x) = x³ o così f(x) = 2x+1) sono invertibili e sono ancora delle funzioni polinomiali. Ad esempio, la funzione che prende qualunque numero (ad esempio, 2) e lo associa al suo cubo (in questo caso, 8), è invertibile e ha come inversa la funzione che prende qualunque numero e lo associa alla sua radice cubica.

Questa congettura è stata ritenuta plausibile per decenni e fior fiore di matematici si sono cimentati nel cercare di trovarne una dimostrazione. Era ritenuta così importante che nel 1998 il matematico Stephen Smale, vincitore della Medaglia Fields, la inserì tra i problemi matematici del nuovo secolo.

Il controesempio trovato da Fable 5

Dopo quasi novant'anni di tentativi di dimostrazione, Fable 5 ha trovato una funzione che rispetta tutte le condizioni richieste dalla congettura, ma non è invertibile. Questa funzione collega tra loro due spazi tridimensionali ed è l’esempio che confuta la congettura negli spazi con tre o più dimensioni.

La funzione, scritta nel tweet di Alpöge, è la seguente:

Questa funzione prende una tripla di valori, indicati con (x, y, z), e la trasforma in un'altra tripla ottenuta attraverso tre espressioni, indicate nell’immagine dai riquadri colorati. Ad esempio, se prendiamo x=0, y=0 e z= -¼ e ne sostituiamo i valori nella formula sopra, con un po’ di conti otteniamo:

F(0, 0, -¼) = ( (1 + 0)³ *(-¼) + 0*(1+0)*(4+3*0), 0 +3*0*(1 + 0)² * (-¼) + 3*0*(4+3*0), 2*0 – 3*0 – 0* (-¼) ) = (-¼, 0, 0).

Questa funzione, quindi, associa la tripla (0,0,-¼) alla tripla (-¼, 0, 0).

Per dimostrare che questa funzione non è invertibile, Fable ha usato una condizione fondamentale: perché una funzione sia invertibile, a ogni elemento dell’insieme di partenza deve corrispondere uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo. Tornando all’esempio di prima, se sia “Ciao, come stai?” che “Che tempo fa oggi” fossero crittografate nella sequenza “Dlbm, dpnf tubh!”, chi riceve il messaggio crittografato non potrebbe ricavare il messaggio originale. Se più elementi diversi vengono trasformati nello stesso elemento, non esiste un modo univoco per tornare indietro e quindi la funzione non è invertibile.

Per dimostrare che la funzione trovata non è invertibile, quindi, basta trovare più elementi dell’insieme di partenza che siano collegati con lo stesso elemento dell’insieme di arrivo. In questo caso, Fable 5 ha trovato tre elementi distinti, le triple (0, 0, -¼), (1, −3/2, 13/2) e (−1, 3/2, 13/2), che sono tutti associati allo stesso elemento: (-¼, 0, 0). Questo basta per dimostrare che la funzione non è invertibile e costituisce quindi un controesempio alla congettura Jacobiana negli spazi con tre o più dimensioni.

Al momento non sono stati resi pubblici i dettagli di come Alpöge abbia posto il problema a Fable 5 né il processo seguito dal modello per arrivare alla soluzione. Tuttavia, questo risultato è diverso rispetto ad altri recenti successi dell'AI in matematica. In questo caso, la vera difficoltà non è stata costruire una dimostrazione lunga e complessa, ma esplorare in maniera efficace uno spazio enorme di possibili funzioni polinomiali fino a individuarne una con le proprietà desiderate.

Questo suggerisce un nuovo potenziale utilizzo dell’AI nella ricerca: potrebbe rivelarsi preziosa non solo per aiutare nella costruzione di dimostrazioni, ma per cercare in maniera efficace controesempi a congetture aperte da decenni.

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