Il teorema della pizza: come dividersi la pizza in modo perfetto

Come facciamo a dividere una pizza in maniera che ogni commensale ne mangi esattamente la stessa quantità? Una soluzione abbastanza facile da mettere in pratica ce la da il Teorema della Pizza. Si tratta di un teorema, nato da una sfida pubblicata sul rivista Mathematics Magazine nel 1967, secondo cui basta dividere la pizza con dei tagli dritti, che passano tutti per lo stesso punto seguendo alcune semplici regole. Vediamo quali sono queste regole e come il teorema ci aiuta a dividere equamente la pizza in base al numero di commensali.

Cominciamo dal caso di 2 sole persone:

1. Per prima cosa si fa un taglio dritto a caso che divide la pizza in due parti
2. Poi si fa un altro taglio, perpendicolare al primo, in maniera da formare quattro spicchi diversi ma che creano 4 angoli di 90° in un punto scelto a caso
3. Concludiamo con due tagli che dividono a metà tutti gli angoli che si sono formati nel punto 2

A questo punto basta distribuire gli 8 spicchi in maniera alternata visto che, secondo il teorema della pizza

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il totale dell’area degli spicchi di un colore è uguale all’area degli spicchi dell’altro colore (vedi figura sopra)

Il teorema è stato dimostrato in vari modi tra cui spicca, per immediatezza, la "dimostrazione senza parole" elaborata da Larry Carter e Stan Wagon nel 1994 (vedi figura sotto) in cui ogni spicchio di un colore viene suddiviso in porzioni che hanno ciascuna la propria controparte, identica, tra gli spicchi dell'altro colore.

Ma cosa ha di conveniente questo metodo rispetto al dividere la pizza in due con un solo taglio? Se vogliamo dividere la pizza in maniera approssimata è certamente più pratico dare un tagli nel mezzo ad occhio, ma se vogliamo spartirci la pizza in maniera esatta le cose cambiano: un taglio che divida esattamente a metà una pizza deve per forza passare esattamente per il centro, ma trovare il centro preciso di una pizza è molto difficile. Con il metodo del Teorema della Pizza, invece, i tagli possono incontrarsi in un punto a caso della pizza e non c'è bisogno di trovare il centro!

E se abbiamo più di 2 commensali? Nessun problema, basta cambiare il punto 3 come segue:

Facciamo un numero di tagli uguale al numero di commensali in maniera da dividere equamente ciascuno dei 4 spicchi del punto 2

Ad esempio, se i commensali sono 3 commensali bisogna dividere in 3 gli angoli retti ottenuti con i primi due tagli ottenendo 12 spicchi totali da distribuire in maniera alternata, 4 ciascuno, come mostrato dai colori della figura sotto.

Anche in questo caso il teorema della pizza ci garantisce che le somme delle aree degli spicchi dello stesso colore si equivalgono, quindi la quantità di pizza sarà la stessa per ciascun commensale. Rimane però un dubbio: siamo sicuri che la quantità di crosta e di condimento venga divisa equamente? La risposta è si, il Teorema della Pizza ci mette al riparo anche dalla questo problema: è stato dimostrato, infatti, che con questo metodo di divisione della pizza anche il bordo e condimento vengono distribuiti equamente.