L’indovinello geometrico che inganna tutti: dov’è la freccia?

Il gioco è semplice: abbiamo un ottagono ritagliato nel cartone e su ognuna delle due facce è disegnata una freccia. La prima freccia è inclinata di 0° rispetto all'asse verticale – potremmo dire che "segna le 12" – mentre la seconda freccia è inclinata di 90° rispetto all'asse verticale – in gergo "segna le 3".

Facendo ruotare l'ottagono lungo l'asse verticale, che coincide con l'asse su cui si trova la prima freccia, vediamo alternarsi sull'ottagono le due frecce "tra le 12 e le 3". Ora, prendendo in considerazione la faccia in cui si trova la freccia "delle 12", facciamo ruotare l'ottagono di 45° in senso orario, portando così la feccia sul secondo vertice dell'ottagono, come nella figura sotto.

Adesso torniamo a eseguire la rotazione lungo l'asse verticale che, nella configurazione iniziale, ci faceva apparire le due frecce tra le 12 e le 3 alternativamente. Dove vi aspettate che si troverà la freccia della faccia che viene mostrata dopo la rotazione? Se avete pensato in basso a destra… avete sbagliato. Guardate il video!

Sembra incredibile ma la freccia sembra non muoversi! Dopo aver ruotato il piano contenente l'ottagono, infatti, le due frecce si mostreranno nella stessa medesima posizione, cioè sul secondo vertice in alto a destra. Ma com'è possibile?

Questo trucchetto geometrico ha a che fare con gli assi di rotazione. Cerchiamo di capire perché.
Nella configurazione iniziale, abbiamo posizionato una delle due frecce sul vertice centrale in alto, a formare 0° con l'asse verticale, mentre la seconda freccia era disegnata sulla faccia posteriore a 90° in senso orario rispetto all'asse verticale. Quando abbiamo ruotato di 45° l'ottagono in senso orario rispetto alla faccia anteriore, la faccia posteriore ha invece fatto una rotazione in senso antiorario! E questo fa si che, mentre la prima faccia sia passata da 0° a 0°+45° (rotazione oraria) cioè 45°, la seconda sia passata da 90° a 90°-45° (rotazione antioraria) cioè sempre 45°!

Il risultato è quindi che entrambe le frecce si trovano ora inclinate di 45° rispetto alla verticale. Ma come mai si è portati a pensare che la seconda freccia, dopo la rotazione di 45°, si troverà nel vertice diagonale in basso a destra? La risposta sta nel fatto che nella prima configurazione, ruotavamo l'ottagono secondo l'asse verticale che in questo caso coincideva con l'asse della prima freccia. Nella seconda configurazione, invece, continuiamo a ruotare l'ottagono secondo l'asse verticale, ma non coincide più con l'asse relativo alla prima freccia, ma il nostro cervello continua a ragionare secondo la sua posizione!

Infatti, se facciamo girare l'ottagono secondo l'asse inclinato di 45° rispetto alla verticale, cioè l'asse della prima freccia, vediamo che la freccia posteriore andrà a posizionarsi proprio dove immaginavamo, cioè in basso a destra.

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