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31 Ottobre 2024
10:30

Nessun nodo “aperto” è impossibile da sciogliere: cosa sono i nodi in topologia

Quand'è che un nodo è impossibile da sciogliere? Matematicamente, mai! O perlomeno, non accade con i nodi come li concepiamo noi, cioè formati su di una corda aperta. Topologicamente invece, i nodi sono curve semplici chiuse in uno spazio 3D. Il loro studio è fondamentale per lo studio di strutture naturali come DNA e proteine.

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Nessun nodo “aperto” è impossibile da sciogliere: cosa sono i nodi in topologia
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Esiste un nodo impossibile da sciogliere? Sembra incredibile da credere ma: no! Tutti i nodi possono essere sciolti ed è la matematica a dircelo. Sì perché matematicamente, studiando la forma dei nodi, possiamo dire che queste strutture sono tutti equivalenti tra loro. Questo significa che, anche se due nodi sembrano molto diversi tra loro per numero di sovrapposizioni della corda, in verità possono essere considerati uguali dal punto di vista della teoria dei nodi perché riusciamo a passare da uno all'altro semplicemente deformando la corda, senza il bisogno di spezzarla.

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Esempio di nodi equivalenti

Per capirlo, guardiamo insieme il caso del nodo mostrato nel video. Il nodo iniziale non riesce ad essere sciolto a causa della presenza della spina, che impedisce all'incrocio di essere "sciolto". Per riuscire a liberare la spina, possiamo trasformare il nodo in un'altra composizione apparentemente differente, ma matematicamente equivalente: inseriamo una nuova sovrapposizione grazie alla quale riusciamo ad "annullare" quella già presente, facendo così tornare il cavo al suo "stato iniziale", cioè quello di retta.

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Esempio di nodi chiusi equivalenti

Insomma, un nodo qualsiasi all'interno di una corda aperta, per quanto complesso possa sembrare –  pensate alle cuffiette quando vi rimangono in tasca – potrà sempre essere "snodato". Ed è questo il motivo per cui, matematicamente, questo tipo di nodi "aperti" sono tutti equivalenti tra loro e anzi, non possono neanche essere definiti nodi!

Matematicamente infatti, e più precisamente in topologia – la branca della matematica che studia le proprietà delle figure e delle forme geometriche quando le deformiamo – i nodi sono definiti come curve chiuse nello spazio, e si differenziano tra loro a seconda degli intrecci che presentano.

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Nodi topologicamente differenti tra loro per numero di intrecci e struttura

Una circonferenza è un nodo banale, cioè senza intrecci, mentre il famoso nodo a trifoglio che ha 3 intrecci e non sono matematicamente equivalenti perché per passare da uno all’altro dovremmo tagliare il filo. Tutti i nodi mostrati in figura non sono equivalenti tra loro, perché non è possibile passare da uno all'altro senza eseguire uno strappo.

Bene, ma a cosa servono queste considerazioni? La teoria dei nodi, branca della topologia che studia queste strutture, ha diverse applicazioni. Una tra tutte – di grande importanza – è fondamentale per studiare strutture naturali come DNA e proteine.

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Maria Bosco
Creator
Sono laureata in Matematica e Ingegneria Matematica, con la grande convinzione che sia possibile rendere la matematica divertente e comprensibile. Ex-pallanuotista, amante dello sport, dopo aver lavorato nella consulenza informatica, in piena crisi dei trent’anni sono finita a lavorare in televisione per poi finalmente approdare in Geopop.
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