Il paradosso del barbiere: la logica messa alla prova dall’antinomia di Russell

Nei primi anni del 1900 il filosofo, logico e matematico inglese Bertrand Russell formulò una delle sue famose antinomie (ovvero una frase che porta in se stessa una contraddizione), diventata nota a tutti come il paradosso del barbiere. In realtà la dicitura "paradosso" non è precisissima perché a contraddirsi qui non sono logica e realtà delle cose, ma è la logica stessa che ha dei problemi al suo interno.
Resta un rompicapo estremamente affascinante perché viene utilizzato per fare emergere alcune difficoltà nell'ambito della teoria degli insiemi a cui lo stesso Russell stava lavorando e, tra le tante riflessioni, è servito anche a dare vita alla teoria dei tipi che oggi si usa per i linguaggi di programmazione.
Nonostante tutto ciò possa sembrare complesso, sappiate che la formulazione del "paradosso" è riducibile a questo:

Un solo barbiere molto bravo lavora in un villaggio sperduto in cui tutti gli uomini si fanno la barba.
Il barbiere rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli.
Chi rade la barba al barbiere?

Sciogliamo il paradosso e cerchiamo di capire come interpretarlo! Dopodiché vedremo gli sviluppi più complessi nell'ambito della matematica.

Descrizione schematica del paradosso

Per capire come funziona il rompicapo bisogna partire dal significato del testo enunciato dall'antinomia e quindi iniziare con questa domanda: cosa prevede il testo del paradosso? Che ci sia un villaggio con un solo barbiere e che tutti gli uomini di questo villaggio si radano la barba.
Inoltre capiamo che è possibile suddividere gli abitanti uomini in due gruppi:

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Di Camilla Ferrario

1. coloro che si radono da soli;
2. coloro che si fanno radere dal barbiere.

Essendo un paradosso, si genera una contraddizione che in questo caso riguarda proprio il barbiere.

Infatti se rientrasse nel primo gruppo, e quindi si radesse da solo, avremmo una contraddizione perché il barbiere (cioè lui stesso) rasa solo gli uomini che non si radono la barba da soli. Quindi non può far parte di questo gruppo.
Se il barbiere rientrasse nel secondo gruppo? Anche in questo caso ci sarebbe una contraddizione perché vorrebbe dire che dovrebbe farsi radere…da se stesso! Non esistendo nessun altro barbiere nel paese, non c'è per lui altra chance: è l'unico a poter radere se stesso. Ma se si radesse da solo allora smetterebbe di essere nel secondo gruppo e rientrerebbe nel primo!

Una soluzione controversa

La domanda "chi rade il barbiere?" non ha una risposta, il paradosso – a meno che non si aggiungano altre specifiche come "il barbiere è una persona a cui non cresce la barba" o qualcosa di simile – non ha una soluzione. Ma, da un certo punto di vista, questo è proprio il bello della contraddizione individuata da Russell: ci lascia completamente a bocca aperta e mette alla prova la nostra logica, mostrandoci che può essere portata al limite.
La versione più complessa (e meno intuitiva) del paradosso del barbiere si formula nella teoria degli insiemi su cui Russell stava lavorando. Vediamone un assaggio.

L'antinomia nella teoria degli insiemi

Ora che abbiamo appurato che il paradosso del barbiere di fatto non ha una soluzione, proviamo ad addentrarci nella versione più teorica e meno immediata di questo stesso problema. Ne vediamo un pezzetto alla volta, in modo da cercare di capirlo nel dettaglio.
La contraddizione del barbiere rimanda a un'antinomia formulata nell'ambito degli studi sull'insiemistica che riguarda un preciso tipo di insieme, ovvero l'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi. Un nome piuttosto strano, che può spaventare, ma possiamo provare a vederci chiaro!
Partiamo dal fatto che in matematica è possibile raggruppare idealmente degli oggetti qualsiasi e farne un insieme.
Quindi è possibile creare degli insiemi che sono anche elementi di se stessi. Cosa vuol dire? Pensiamo a "l'insieme dei concetti astratti". Anche questo insieme è un concetto astratto, quindi è un elemento di se stesso.

Allo stesso tempo esistono insiemi che non sono elementi di se stessi come "l'insieme di tutti i redattori di Geopop" che non è anch'esso un redattore di Geopop!

Ora se pensiamo a "l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi" e lo chiamiamo insieme R scopriamo che:

• se R appartiene a se stesso (quindi è un elemento di se stesso come nel caso dei concetti astratti), allora dovrebbe essere uno degli insiemi che non appartengono a se stessi e quindi si ottiene una contraddizione con la sua stessa definizione;
• se R non appartiene a se stesso, (quindi non è un elemento di se stesso come nel caso dell'insieme dei redattori di Geopop) allora è uno degli "insiemi che non appartengono a sé stessi" , ovvero, paradossalmente, uno dei suoi stessi elementi secondo la definizione e quindi dovrebbe appartenere a se stesso.

Ecco qui la contraddizione: l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso!
È chiaro quindi che tutto ciò mandò in crisi i matematici del ‘900, ma allo stesso tempo aprì la strada alle riflessioni di grandissimi studiosi come Cantor, Zermelo e Frenkel.