Il quadrato magico, tra magia e matematica: tipologie e come costruirli

Un quadrato magico, cioè una matrice quadrata che contiene numeri tutti diversi tra loro, e in cui le somme dei numeri presenti in ogni colonna, riga e diagonale danno lo stesso risultato. Quello che vedete nell'immagine qui sopra, per esempio, è un quadrato magico: provare per credere.

È una figura antica, risalente all'impero cinese del 650 a.C., che lungo i secoli ha unito superstizione e matematica. Vediamo in questo articolo come si costruisce, quali sono le sue particolarità e come è possibile giocarci. Spoiler: c'entra il sudoku!

Caratteristiche e tipologie di quadrato magico: 3×3, Sator e diabolici

Come abbiamo detto, nei quadrati magici troviamo numeri che sommati in riga, colonna o diagonale restituiscono sempre lo stesso numero, detto costante magica M. Il numero n di righe o colonne è detto ordine del quadrato.
Il più classico esempio è 3 x 3 che riporta i numeri da 1 a 9. Si tratta quindi di un quadrato magico di ordine 3 e, se facciamo i conti, la sua costante magica è 15. Ma quanti quadrati magici esistono?

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Consideriamo solo i quadrati magici con numeri da 1 a n. Un quadrato magico di ordine 2 non esiste, funzionerebbe solo se tutti i numeri fossero uguali. Di ordine 3, invece ne esiste uno solo, quello che vedete in figura. Tutti gli altri quadrati magici di ordine 3, sono rotazioni di questo. Di ordine 4 invece ne esistono ben 880, di ordine 5 circa 275 miliardi. Insomma, al crescere dell'ordine, il numero di quadrati magici possibili aumenta molto velocemente e non esiste una regola precisa che sappia dirci per ogni ordine, quanti quadrati magici esistano.

Esiste invece la formula magica per calcolare la costante magica M(n) di un quadrato magico di dimensione n (se vi interessa come ricavare questa formula, la trovate nella prima fonte citata a fine articolo):

Con questa formula, possiamo trovare la costante magica di qualsiasi quadrato magico! Pensate che il più grande quadrato magico fin ora trovato (P. Weber, T. Herbig, 2012) è di dimensione 3559 x 3559, e se facciamo i conti, la sua costante magica si aggira attorno a 22 miliardi.

I quadrati diabolici

Esiste una sottocategoria speciale dei quadrati magici, quella dei quadrati diabolici. Questo nome è dovuto al fatto che in queste tabelle n x n hanno ancora più "coincidenze": anche le diagonali spezzate, se sommate, danno come risultato la costante magica.

Il sudoku è una variazione del quadrato magico

Ebbene sì, uno dei giochi logici più gettonati sotto l'ombrellone – il sudoku – è proprio un quadrato magico 9 x 9, anche se speciale. Infatti, in questo tipo di quadrato le cifre da 1 a 9 si ripetono in ogni riga, in ogni colonna e in ognuno dei sottoquadrati 3 x 3. Questo quadrato magico speciale può inoltre essere considerato un quadrato magico 3 x 3 in cui in ogni casella troviamo altri quadrati 3 x 3 (in questo caso non magici, ma con cifre che vanno da 1 a 9). Insomma, un quadrato magico fatto di quadrati! Se sommiamo infatti i valori dei 3 quadrati nella prima riga, il risultato è uguale alla somma dei 3 quadrati nella seconda e la stessa cosa vale per la terza riga, per le colonne e per le due diagonali!

Il quadrato del Sator

Nel XVIII anche Eulero si interesso ai quadrati magici, li estese oltre i numeri. Inventò infatti i quadrati latini, che al posto dei numeri da 1 a n contengono figure o simboli, che devono comparire una sola volta in ogni riga e colonna.

Un esempio molto famoso – e incredibilmente affascinante – di quadrato latino è il quadrato del Sator, un quadrato di ordine 5 che riporta le cinque parole "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS". In questo caso si tratta di un quadrato latino veramente molto speciale: La frase può essere letta in tutte le direzioni, perchè si tratta di una frase palindroma! Di cui, tra l'altro, la parola centrale "tenet" è a sua volta palindroma.

Questo quadrato è stato ritrovato in tantissime rovine e monumenti sparsi per l'Europa. In Italia possiamo vederlo – tra tanti posti – su di un lato del Duomo di Siena, ma soprattutto inciso su una colonna degli scavi di Pompei.

La magia della matematica lungo i secoli: a cosa servivano i quadrati magici

La storia del quadrato magico parte con una dall'antica Cina. La leggenda cinese del Lo Shu risale al 650 a.C. e racconta del re Yu che, intento ad arginare una piena del fiume Lo, vede uscire dalle acque una tartaruga magica, che portava sul guscio un quadrato magico (in questo caso, i numeri da 1 a 9 erano rappresentati da punti collegati tra loro). Questa leggenda si è portata dietro una grande superstizione: si riteneva che la disposizione dei numeri pari agli angoli del quadrato, portasse fortuna, e per questo venivano utilizzati come talismani portafortuna.

Da questa leggenda in poi, abbiamo visto comparire il quadrato magico in diversi angoli del mondo. Lo ritroviamo in testi indiani risalenti al 100 d.C., nei vari quadrati di Sator in giro per il mondo, sulla Sagrada Familia di Gaudì, a Barcellona, dove ne compare uno di costante magica 33 – come gli anni di Cristo. Nella storia dell'arte, è famoso il dipinto Melancolia I di Albrecht Dürer (1514), la cui interpretazione viene legata all'alchimia.

Come si risolve un quadrato magico?

Per diletto e divertimento, è possibile costruire dei quadrati magici. Certo, può essere anche fatto in modo casuale, o decidendo di utilizzare cifre non consecutive – un'ottima alternativa al sudoku. Esiste però una tecnica precisa per creare un quadrato magico di ordine dispari.

Vediamola insieme usando come esempio un quadrato 5 x 5, quindi con numeri da 1 a 25:

• si sceglie un punto di partenza qualsiasi – ma non appartenente alle diagonali – e si scrive 1;
• si procede con il numero successivo posizionandolo un passo a destra e uno in alto rispetto alla casella dove ci si trova
• se la casella in alto a destra è già occupata da un altro numero, scriviamo il numero successivo nella casella appena sotto la casella dove ci si trova
• se mi trovo ai bordi del quadrato, ragiono alla "Pac Man": se esco dal lato destro, ricompaio sul lato sinistro; se esco in alto, ricompaio in basso (e viceversa).