Perchè le interrogazioni a sorpresa con il metodo del libro aperto non sono eque

Le interrogazioni a scuola fanno sempre paura, ancor più se precedute dalla suspense delle estrazioni fatte con il metodo delle pagine del libro. Questo metodo consiste nell’aprire una pagina a caso e sommare le cifre del numero della pagina fino ad ottenere un numero dell’elenco del registro di classe. Ma è un metodo giusto? In effetti no, si tratta di un metodo "truccato" in cui alcuni numeri hanno una probabilità molto più alta di essere estratti rispetto ad altri, ma attenzione, non è proprio sempre così. Vediamo come dove sta il trucco e come possiamo modificare questo metodo per renderlo più equo.

Il metodo delle estrazioni dalle pagine del libro: l'“ingiustizia” è questione di probabilità

Il metodo di estrazione dalle pagine del libro è semplice e funziona più o meno così, anche se ne esistono alcune varianti:

1. si apre una pagina a caso di un libro, ad esempio la numero 678, se il numero ottenuto corrisponde ad un numero dell’elenco degli alunni allora questo sarà il numero estratto, altrimenti si prosegue con il passo successivo, come nel nostro caso
2. si sommano le cifre della pagina, nel nostro caso 6+7+8=21, se il numero ottenuto fa parte dell’elenco sul registro sarà il numero estratto, altrimenti si somma ancora e si ricontrolla, ecc.

Nel nostro esempio, se in classe ci fossero più di 30 alunni, allora 21 sarebbe il numero estratto, ma se la classe fosse composta da soli 20 alunni dovremmo sommare ulteriormente ed estrarre il numero 2 + 1 = 3.

Ma perché questo metodo non è equo? In fondo le pagine sono estratte a caso, quindi dove sta il trucco? È una questione di probabilità, cerchiamo di capirlo con un esempio semplificato.

Consideriamo un libro che abbia esattamente 100 pagine, numerate da 1 a 100, ed immaginiamo che tutte le pagine abbiano la stessa probabilità di essere estratte, cosa comunque difficile in realtà). Ora vediamo quante probabilità ci sono che, in una classe di 20 persone, venga estratto il numero 3.

Utilizzando questo metodo il numero 3 si ottiene solo con le pagine 3, 21 e 30 dato che 2+1=3 e 3+0=3. La pagina numero 12, invece, non va bene perché il 12 fa parte dell’elenco degli alunni e se esce questo numero l’interrogazione tocca all’alunno/a 12 del registro. In sostanza, su 100 pagine che possiamo aprire a caso solo 3 pagine portano all’estrazione del numero 3, che quindi ha 3 possibilità su 100 di essere estratto, ovvero una probabilità del 3%.

Vediamo ora cosa succede con il numero 12, questo numero viene estratto quando capitano le pagine 12, 39, 48, 57, 66, 75, 84 e 93: sono 8 pagine su 100, quindi la probabilità di estrarre il 12 è l’8% che è più del doppio delle probabilità di estrarre il numero 3!

Se poi facciamo il confronto con la probabilità di estrarre il numero 1 le cose peggiorano ulteriormente perché in quel caso la probabilità di estrazione è solo il 2%, ovvero ¼ delle probabilità di estrarre il numero 12. Indubbiamente con questo metodo conviene avere un nome che inizia con la lettera A!

Insomma, ogni numero ha una probabilità diversa di essere estratto, e questo rende il metodo non equo.

Una variante alternativa più equa per le interrogazioni a sorpresa

Di modi equi per estrarre nomi per le interrogazioni ne esistono vari, ma l’apertura di un libro ha un suo fascino, e alcuni insegnanti usano una variante alternativa del metodo del libro, che lo rende molto più equo, e che funziona così:

1. si apre una pagina a caso
2. si calcola il resto della divisione del numero della pagina per il numero di alunni della classe, tale resto è il numero estratto, e se il resto è 0 si estrae l’ultimo numero dell’elenco.

Ad esempio, se abbiamo una classe di 25 studenti ed apriamo il libro alla pagina 54, il numero estratto sarà il 4 poiché il 25 sta nel 50 due volte con resto di 4 (54 = 25 × 2 + 4).

Proviamo a vedere se questo metodo è equo mettendolo alla prova con la stessa situazione di prima, una classe di 20 alunni ed un libro di 100 pagine. Come prima, partiamo dalla probabilità di estrarre il numero 3: i numeri da 1 a 100 che divisi per 20 danno resto 3 sono i numeri 3, 23, 43, 63 e 83, abbiamo quindi 5 possibilità su 100 di estrarre il numero 3, una probabilità del 5%. Per quanto riguarda il numero 12, invece, ci vanno bene i numeri 12, 32, 52, 72, 92 che sono nuovamente 5, quindi il 5%. Lo stesso vale per il numero 1, che si ottiene con le pagine 1, 21, 41, 61 e 81, il 5% delle probabilità. Insomma, con un libro di 100 pagine ed una classe di 20 alunni, tutti gli studenti hanno una probabilità del 5% di essere estratti per l’interrogazione.

Le cose possono sbilanciarsi leggermente se il numero delle pagine del libro non è un multiplo esatto del numero di studenti della classe. Ad esempio se nel nostro caso il libro avesse 101 pagine lo studente numero 1 avrebbe una possibilità in più di essere estratto, quella della pagina 101, e quindi una probabilità del 5,94% di essere estratto contro il 4,95% circa dei propri compagni. Tuttavia si tratta di uno sbilanciamento piccolo, che si riduce se il numero delle pagine del libro è più alto, ad esempio se le pagine fossero 201 le due probabilità sarebbero il 5,47% circa contro il 4,98% circa. Tutto sommato si tratta di differenze molto piccole e possiamo considerare questo metodo abbastanza equo.

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