Bastano solo 4 colori per colorare una carta geografica politica: com’è possibile?

Quanti colori sono necessari per colorare una cartina geografica (politica) in modo che due Paesi confinanti non siano dello stesso colore? Sembra impossibile, ma ne bastano solo quattro, qualsiasi sia la mappa! A dimostrarlo è un teorema matematico chiamato proprio il Teorema dei quattro colori. Lo vediamo in questo articolo, cercando anche di capire come sia possibile e cos'è la teoria dei grafi, la disciplina matematica capace di schematizzare questo problema e risolverlo.

Quattro colori bastano per colorare regioni connesse

Prendete un foglio e dividetelo in quante parti volete con linee che lo tagliano da una parte all'altra. Non importa quante linee farete e quanti regioni diverse creerete: in qualsiasi caso, basteranno quattro colori diversi per colorare tutte le regioni in modo che regioni confinanti non abbiano lo stesso colore. O meglio, in quasi tutti i casi.

La condizione fondamentale perché quello che abbiamo detto sia vero, è che le regioni che disegniamo sul foglio siano connesse, un termine geometrico facilmente comprensibile per la sua intuitività: una regione è detta connessa se e solo se è non è formata da più parti (insiemi aperti) disgiunte, cioè non confinanti.

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Ci sono popoli con solo 2 o 3 parole per chiamare tutti i colori esistenti: com’è possibile?

Quello che avete appena letto è proprio il Teorema dei quattro colori, che afferma questo:

Data una superficie piana divisa in regioni connesse, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni confinanti non abbiano lo stesso colore.

Questo teorema è famoso per poter essere applicato alle cartine geografiche politiche. Bastano infatti quattro colori per rappresentare le regioni d'Italia o addirittura gli stati dell'intero mondo.

Esistono però casi in cui non è applicabile: quando, appunto, le regioni non sono connesse. Vediamo cosa significa.

Le mappe sferiche e i casi in cui il teorema non vale

Una regione è non connessa quando, al contrario di quanto detto fin ora, è formata da più parti con confinanti tra loro. In questo caso, va a cadere la possibilità di utilizzare solamente 4 colori.

Un esempio facilmente comprensibile di regione non connessa è quello degli Stati Uniti d'America. Se prendete un mappamondo, potete notare che gli USA sono composti da un blocco centrale di 48 stati, dalle isole Hawaii e da un unico stato isolato non confinante con nessun altro stato confederato: l'Alaska.

Nonostante gli USA non siano una regione connessa, il mondo può ugualmente essere colorato con quattro colori grazie al fatto che l'Alaska confina unicamente con il Canada, che a sua volta confina unicamente con la restante parte degli Stati Uniti. Ma immaginiamo per un secondo che il blocco centrale degli USA sia circondato da tre stati confinanti tra loro come nell'immagine qui sotto.

In questo caso non c'è soluzione: sono 5 i colori necessari.

Anche il mappamondo può essere colorato con 4 colori

Il numero di colori non dipende solo dalla struttura delle regioni, ma anche dal tipo di superficie su cui sono disegnate. In altre parole, il numero minimo di colori dipende dalla forma del "mappamondo" su cui stiamo disegnando. Nel caso della Terra – che ha forma sferica – la risposta rimane 4.

Esiste comunque una generalizzazione del Teorema dei quattro colori che definisce il numero di colori necessari a seconda del tipo di superficie su cui ci troviamo. Un esempio divertente è quello della ciambella, su cui la risposta sarebbe stata 7 colori.

Ma verrebbe da chiedersi: è vero che qualsiasi mappa (con regioni connesse) ha bisogno solo di 4 colori per essere colorata, oppure semplicemente non abbiamo ancora trovato un caso che contraddica questa ipotesi?

Ecco comparire nel discorso una rigorosa soluzione matematica.

Le cartine politiche sono paragonabili a dei grafi

Questo esempio ci serve a comprendere come la matematica risulti fondamentale per formalizzare e rendere concrete congetture relative alla vita di tutti i giorni. Conoscere la matematica, infatti, vuol dire anche e soprattutto imparare a capire cosa può essere risolto e cosa invece non ha una spiegazione.

Nel caso delle "cartine a 4 colori", ci viene in soccorso una branca della matematica chiamata teoria dei grafi, che studia proprio i grafi, oggetti discreti che ci consentono di schematizzare problemi assai più complessi. Più semplicemente, si tratta di quelli che potremmo vedere come reticolati: linee e punti che schematizzano concetti.

In questo caso, possiamo associare alla nostra cartina geografica un grafo così fatto: poniamo un punto al "centro" di ogni regione e colleghiamolo con un segmento a ogni punto corrispondente alle regioni confinanti. L'obiettivo è dimostrare che esiste una configurazione che utilizza solo quattro colori per cui, partendo da un qualsiasi vertice e percorrendo il grafo, non troveremo due punti consecutivi dello stesso colore.

Per i più appassionati, potete trovare la dimostrazione completa nelle fonti riportate sotto. Per i "meno" appassionati, vi invitiamo a provare con carta e penna: ogni ripartizione del foglio che farete, sarà colorabile con soli 4 colori.