Come trovare l’unica cassa di mele da 200 grammi con una sola pesata: la soluzione al rompicapo

Ci troviamo in questa situazione: siamo degli agricoltori e abbiamo 10 cassette di mele pronte per essere caricate su un camion diretto al mercato. 9 di queste cassette contengono mele che pesano 150 grammi l’una, mentre 1 sola contiene mele da 200 grammi.

Per distinguere la cassetta con le mele diverse avevamo attaccato un cartellino rosso sull'esterno, ma a causa del vento si è staccato e ora non sappiamo più quale sia.  A occhio nudo, queste mele sono indistinguibili da quelle più leggere e anche tutte le cassette sono uguali tra loro. Per fortuna, però, abbiamo a disposizione una bilancia e una cassetta vuota.

Il problema è che il camion sta aspettando e abbiamo il tempo di fare una sola pesata. Come troviamo la cassetta con le mele più pesanti?

La soluzione all'indovinello delle casse di mele

Se avessimo più tempo e più pesate a disposizione, potremmo prendere una mela alla volta da ciascuna cassetta, pesarla e individuare così la cassetta con le mele più pesanti. Siccome, però, possiamo usare la bilancia una sola volta, dobbiamo trovare un modo più efficiente per ottenere tutte le informazioni necessarie con un’unica misurazione.

Per prima cosa numeriamo le cassette da 1 a 10. Poi prendiamo dalla prima cassetta una mela, dalla seconda due mele, dalla terza tre mele e così via, fino ad arrivare alla decima cassetta, da cui prendiamo dieci mele.

In totale avremo selezionato:

1+2+3+…+10 = 55 mele.

Ora mettiamo tutte le mele nella cassetta vuota e le pesiamo insieme, un’unica volta. Se tutte le mele fossero uguali e pesassero 150 grammi, la bilancia segnerebbe esattamente:

55 mele x 150 grammi = 8250 grammi.

Sappiamo però che una delle cassette contiene mele da 200 grammi, cioè mele che pesano 50 grammi in più rispetto alle altre. La nostra bilancia, quindi, segnerà un numero più grande di 8250. La differenza tra il peso misurato dalla bilancia e 8250 ci dirà esattamente quante mele da 200 grammi abbiamo pescato: uno scarto di 50 grammi corrisponde a una mela, uno scarto di 100 a due mele, uno di 150 a tre mele, e così via.

Grazie a questa informazione, riusciremo a ricavare il numero della cassetta di mele diverse, perché corrisponde al numero di mele più pesanti.

Ad esempio, se la bilancia segnasse 8300 grammi, avremmo:

8300 − 8250 = 50 grammi.

Cioè una sola mela da 200 grammi. Siccome dalla cassetta numero 1 abbiamo preso una sola mela, la cassetta con le mele più pesanti dovrà essere proprio la numero 1.

Se invece la bilancia segnasse 8350 grammi, avremmo:

8350 − 8250 = 100 grammi.

In questo caso ci sarebbero due mele più pesanti del previsto. La cassetta da cui le abbiamo prese, quindi, dovrà essere la numero 2.

Seguendo lo stesso ragionamento, se sulla bilancia leggessimo 8400 grammi la cassetta cercata sarà la numero 3, mentre se leggessimo 8750 grammi avremo uno scarto di 500 grammi, cioè 10 mele più pesanti: la cassetta con le mele diverse sarà quindi la numero 10.

In questo modo, con una sola pesata, saremo  riusciti a identificare la cassetta corretta.

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