Il teorema del panino al prosciutto, dimostrato dai matematici A. H. Stone e J. Tukey nel 1942, ci dice che se vogliamo spartirci un panino con un’altra persona sarà sempre possibile farlo con un solo taglio di coltello che divida, in un sol colpo, esattamente a metà ogni parte del panino. Spieghiamo il teorema nel caso tridimensionale e cerchiamo di capire perché funziona analizzando una versione semplificata bidimensionale. Vediamo infine una curiosa applicazione del teorema a livello politico in ambito di elezioni.
Spiegazione del teorema del panino al prosciutto
Immaginiamo di avere un panino costituito da due fette di pane, magari irregolari e diverse tra loro, con una fetta di prosciutto nel mezzo messa lì un po’ a casaccio ed immaginiamo che due commensali vogliano dividersi il panino nella maniera più equa possibile.
Dividere il panino approssimativamente a metà è facile ma le cose si complicano se ciascuno dei due commensali vuole esattamente la metà del prosciutto, metà della soffice parte superiore del panino e metà della croccante parte inferiore del panino. Ebbene, il teorema del panino al prosciutto ci dice che è possibile farlo, addirittura con un solo taglio, ma ce lo dice usando termini matematici. Semplificando un po’, e trattando le fette di pane ed il prosciutto come 3 figure geometriche, può essere espresso più o meno così:
Date 3 figure nello spazio, esiste un piano che biseca (divide a metà) esattamente tutte e tre le figure.
Per capire meglio di cosa si tratta possiamo guardare la versione in due dimensioni di questo teorema, nota anche come teorema della frittella, che ha per protagoniste due figure piane (le frittelle!) e secondo cui
2 figure geometriche nel piano possono essere divise ciascuna esattamente a metà (in due parti con la stessa area) con una sola retta.
In questo caso si parla di 2 figure, invece di 3, perché il teorema del panino al prosciutto si riferisce ad un numero di figure non superiore al numero delle dimensioni considerate: nello spazio si parla di 3 figure, nel piano di 2 figure.
Nella figura sotto ne vediamo una versione semplificata in cui una delle due frittelle è un cerchio. Nella parte a sinistra vediamo una retta che divide a metà il cerchio ma che passa a sinistra della seconda figura.
Ora facciamo lentamente ruotare la retta intorno al centro del cerchio (come in figura): vediamo come la retta, che continua a dividere a metà il cerchio, inizia a tagliare la seconda figura così che, in un primo momento, una piccola parte della figura si trova a sinistra della retta mentre una parte più ampia si trova a destra della retta. Proseguendo con la rotazione della retta aumenta sempre di più la porzione di figura che si trova a sinistra della retta, fino a che, alla fine, tutta la figura si trova a sinistra della retta (vedi parte destra della figura sopra). La situazione ora è capovolta rispetto all'inizio e durante questo processo in cui la retta attraversa la seconda figura deve per forza esserci un momento in cui la divide esattamente a metà.
Questa è più o meno l’idea che c’è dietro al teorema, ma come si fa a fare il taglio giusto che divide esattamente a metà le due frittelle, o il panino al prosciutto? Il teorema sfortunatamente non ci da una risposta è, infatti, un teorema di esistenza che ci assicura che una soluzione al problema esiste ma non ci dice quale sia.
Un’applicazione al mondo della politica
In alcuni stati, quando si svolgono le elezioni, il paese viene è suddiviso in distretti ed ogni distretto elegge un proprio candidato, ma il modo in cui il paese viene suddiviso in distretti può influire sul risultato delle elezioni.
Facciamo un esempio, consideriamo uno stato in cui vi siano solo 6 simpatizzanti del partito verde e 2 simpatizzanti del partito viola, residenti in diverse zone del paese. Supponiamo che il territorio sia suddiviso in due distretti, quello a nord e quello a sud (vedi figura sotto a sinistra), e che ogni distretto elegga un candidato: in questo caso il distretto Nord elegge all'unanimità un candidato verde ed il distretto Sud elegge a maggioranza, 2 contro 1, un candidato viola. In totale vengono eletti un rappresentante verde e uno viola, come se gli elettori verdi e quelli viola si equivalessero in numero.
Tuttavia, guardando il totale degli elettori del paese ci accorgiamo che la maggioranza è nettamente a favore del partito verde (6 contro 2): viene da chiedersi se esiste una suddivisione in distretti che rispecchi questa situazione. È proprio è qui che entra in gioco il teorema della frittella, grazie al quale sappiamo che è possibile suddividere lo stato in maniera che i simpatizzanti dei 2 partiti siano distribuiti equamente tra i due distretti, metà verdi in un distretto e metà nell'altro, metà viola in un distretto e metà nell'altro. Nel nostro caso (vedi figura sopra, a destra) basta dividere lo stato nei distretti Est ed Ovest: in questo caso in entrambi i distretti i candidati verdi vincerebbero le elezioni per 3 voti contro 1 ed il risultato delle elezioni, con due candidati verdi eletti, rispecchierebbe la maggioranza globale.
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