Origami piani e problema del taglio unico: come ottenere delle figure con un solo taglio

Il problema del taglio unico è un problema matematico geometrico che spiega come sia possibile ottenere degli origami piani, cioè delle figure complesse tagliando un foglio lungo una sola linea. Sono detti anche origami piani e la loro invenzione risale al 1721, quando il matematico giapponese Kan Chu Sen li presentò come stratagemmi per testare l'intelligenza matematica.

Vediamo come si costruiscono e le varie forme che si possono ottenere.

Il problema del taglio unico e gli origami piani

Il problema del taglio unico è un problema matematico che ci dice che ogni figura che sia formata solo da segmenti può essere ottenuta piegando opportunamente un foglio più volte e poi facendo un unico taglio lungo un'unica retta. E la cosa incredibile è che non è necessario che la figura sia una forma chiusa, come per esempio il pesce che vedete in figura sotto, ma può essere anche uno schema formato da più parti staccate tra loro. Insomma, si possono creare singoli poligoni sia concavi che convessi, poligoni disgiunti, poligoni annidati e persino figure che presentano buchi al loro interno, tutto sempre tagliano il foglio lungo una sola linea!

Lo schema sembra apparentemente semplice: lo scopo è quello di far arrivare a coincidere tra loro i diversi segmenti che compongono il perimetro della o delle figure che compongono il nostro origami, per poi tagliare lungo il loro allineamento. Possiamo notare dalla figura sopra che esistono due tipi diversi di linee lungo cui tagliare, segnate con due tipi di tratteggi diversi: i tratteggi classici ci indicano una cosiddetta "piega a monte", cioè in cui la linea lungo cui si piega rimane in alto rispetto al foglio che viene piegato su se stesso in basso, mentre le linee punto-tratto ci indicano la "piega a valle", in cui la piega risulterà appunto a valle, mentre le due parti del foglio verranno sovrapposte verso l'alto.

Ed ecco che arriva la parte complessa: come capire lungo quali linee bisogna piegare il foglio? Esistono diversi metodi matematici che dimostrano come sia possibile e garantito ottenere le linee lungo cui piegare, vediamo i due principali.

Il metodi dello straight skeleton e del disk packing

Prima di vedere brevemente i due metodi, partiamo con il dire che entrambi si basano su spiegazioni matematico-geometriche molto complesse e non intuitive da comprendere. Per i più audaci, potete trovare i teoremi che rendono questi metodi validi al seguente link. Cerchiamo comunque di comprendere a grandi linee su quali concetti si basino questi metodi.

Lo straight skeleton: piegare lungo le bisettrici

Il primo metodo, quello dello straight skeleton, generalizza l'idea che per far combaciare tra loro due segmenti adiacenti, è sufficiente piegare il foglio lungo la bisettrice dell'angolo che si forma tra i due segmenti. Chiaramente questo non è sufficiente per ottenere le nostre linee, perché gli angoli delle figure sono diversi e le diverse pieghe lungo le bisettrici devono rimanere coerenti tra loro.

Per questo, vengono tracciate delle righe parallele ai vari segmenti, e l'obiettivo principale è quello di mantenerle sempre parallele, come se la figura venisse via a via "ristretta". Come potete vedere in figura, oltre alle linee bisettrici agli angoli compaiono delle linee perpendicolari ai vari restringimenti, che servono a connettere tra loro le varie bisettrici.

Il disk packing: usare le circonferenze

Questo metodo è teoricamente un po' più semplice da ottenere, perché permette di eseguire meno linee per ottenere le nostre pieghe, ma necessita di un compasso. In poche parole, per ottenere le pieghe, dobbiamo disegnare delle circonferenze con centro i vertici della nostra figura in modo che gli spazi tra loro abbiano tre o quattro lati. A questo punto si uniscono i centri dei dischi adiacenti e si disegnano le bisettrici degli angoli che si sono formati, come potete vedere nella figura sotto.

A onor del vero, non è semplice calcolare le rette che ci permettono di ottenere le pieghe, ma per fortuna qualcuno ci ha pensato per noi! A questo link potete trovare diversi fogli da stampare, con cui provare a ottenere i vostri origami piani.

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