La “prova del 9” non è infallibile come si crede: come funziona e perché si dice così

In italiano, "fare la prova del nove" significa fare una verifica inconfutabile che ci dirà sicuramente se una cosa è giusta o sbagliata. In verità, matematicamente questo è un falso mito. In matematica infatti la prova del nove è un metodo veloce per verificare se il risultato di un’operazione aritmetica è esatto, ma attenzione, non è un metodo infallibile.

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A cura di Michele Cerulli

In italiano, quando usiamo il modo di dire "facciamo la prova del nove", intendiamo quella verifica che sicuramente ci dirà se qualcosa è giusto o sbagliato. Come se fosse l'ultima conferma di cui avevamo bisogno. Questo modo di dire, nasce però da un falso mito! In matematica, la prova del nove non sempre ci dice "la verità". Per capire cosa intendiamo, vediamo in cosa consiste la prova del nove.

La prova del nove permette di controllare la correttezza di un’operazione, anche con tante cifre, riducendola alla stessa operazione ma svolta con due numeri di una cifra. Funziona con tutte e quattro le operazioni (+, ×, ÷, -) e il procedimento è sostanzialmente lo stesso. Vediamolo nel caso della moltiplicazione che è quello in cui viene più comunemente usata.

Supponiamo di aver calcolato 21 × 47 = 985, per verificare la correttezza del risultato si procede in questo modo:

si prepara una tabella a croce
si sommano le cifre del primo fattore, fino ad ottenere un numero di una cifra (in questo caso 2+1=3) che riportiamo nella prima casella della tabella
si sommano le cifre del secondo fattore, in questo caso 4+7=11 che non è ancora un numero di una sola cifra quindi sommiamo 1+1=2, riportiamo 2 nella casella in alto a destra
si sommano le cifre del risultato, in questo caso 9+8+5=22 da cui 2+2=4 che riportiamo in basso a sinistra
infine moltiplichiamo tra di loro i numeri delle due caselle in alto e riportiamo il risultato nella casella in basso a destra: in questo caso 2×3=6.
confrontiamo i numeri delle due caselle in basso: se sono diversi, come nel nostro caso allora il risultato dell’operazione è sbagliata (vedi figura sotto).

Immagine — I numeri 4 e 6 sono diversi: la prova del nove ci dice che il risultato della moltiplicazione è errato

Ma cosa succede invece se i numeri delle due caselle in basso sono uguali? Ci sono due possibilità, la prima, come nella figura sotto, è il caso in cui non ci sono errori nel calcolo, e la prova del nove ce lo conferma.

Esiste però anche un altro caso, quello in cui il risultato calcolato è sbagliato ma differisce dal risultato corretto esattamente di 9 (o di un multiplo di 9) come nella figura sotto: anche questa volta la prova del nove non rileva errori, eppure un errore c’è, per cui bisogna fare molta attenzione!

In questo caso si usa l’espressione falso positivo, per indicare un risultato corretto solo in apparenza. Facendo una stima molto approssimativa la probabilità di imbattersi in un falso positivo è circa dell'11%, dato che riguarda 1 risultato errato ogni 9, una probabilità decisamente non trascurabile.

E quindi come facciamo a fidarci della prova del nove? Nessun problema, basta sapere come usarla e ricordarsi che questa prova non è in grado di dirci sempre se il calcolo è giusto o sbagliato, ma ogni volta che individua un errore allora l’errore c’è di sicuro. In pratica è lecito fidarsi della prova del nove solo ed esclusivamente quando ci dice che abbiamo sbagliato i calcoli, ma quando non ci segnala errori è bene non fidarsi troppo.

Ma perché la prova del nove funziona e perché non si chiama prova del 7, o del 2? È una questione resti di divisioni, in breve, se moltiplichiamo due numeri, ad esempio 13 e 21 che divisi per 9 danno resto 4 e 3, allora il loro prodotto diviso per 9 dovrà dare lo stesso resto del prodotto 4×3: la prova del nove in pratica controlla che questi due resti siano uguali.

La stessa si potrebbe fare con i resti delle divisioni per qualsiasi altro numero, come 7 o 2, ma il 9 gode di una caratteristica che rende tutto più semplice. Quando dividiamo per 9, infatti, il resto della divisione coincide proprio con la somma delle cifre che compongono il numero, ad esempio sommando le cifre del numero 985 abbiamo ottenuto 4 che è proprio il resto della divisione per 9, dato che 985=9×101+4.

In sostanza, quando sommiamo le cifre per applicare la prova del nove stiamo in realtà calcolando il resto della divisione per 9, ed è questo il motivo per cui questa prova si chiama prova del 9 e non prova del 7 o del 2.

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