Il 3 e il 7 sono due numeri primi – cioè numeri interi positivi che sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi – e su questo, non ci piove. Se però affianchiamo i due numeri, otteniamo il numero 37, anche lui primo. E se invertiamo le cifre tra loro? Otteniamo il numero 73, sempre un numero primo. Aggiungiamo allora un 7 al principio: 773, ancora un numero primo. E 337? Anche lui primo! Beh a questo punto, sembrerebbe che ogni numero che sia combinazione di 3 e di 7 è di conseguenza un numero primo, e quindi lo sarà anche il 3337… e invece no! Il numero 3337 è divisibile per 47 e 71, oltre che per 1 e 3337.
Questo esempio ci aiuta a capire un concetto matematico fondamentale: uno schema o evidenza numerica non può essere usato come verità matematica, è sempre necessario dimostrarlo.
Un'evidenza numerica non indica una verità matematica, ma una congettura
I primi 6 numeri che abbiamo considerato – 3, 7, 37, 73, 773 e 337 – sono tutti primi e tutti formati da combinazioni delle cifre 3 e 7. Questo può far ipotizzare, sulla base della nostra esperienza, che qualsiasi numero formato da una combinazione di 3 e di 7 sia primo. Ma non è così! È bastato considerare il numero 3337 per smontare la nostra ipotesi. Infatti, come abbiamo detto, 3337 può essere scritto come 47 x 71 e quindi non è un numero primo.
Questo semplice esempio, ci serve per capire un concetto fondamentale nel mondo matematico: non bisogna farsi ingannare dalle apparenze! Un qualsiasi fatto, in matematica, può essere considerato vero solo se è dimostrabile, cioè se risulta coerente con le proprietà matematiche già dimostrate e quindi deducibile dagli assiomi, cioè quei (pochi) principi matematici che sono considerati veri di per sé e su cui si basa la costruzione di tutta la teoria matematica conosciuta.
Un fatto che invece ci appare vero, se non è stato dimostrato rimane soltanto un'ipotesi o congettura, ed è compito nostro – o meglio, dei matematici – cercare di verificare se questo fatto sia coerente con le leggi matematiche.
I problemi irrisolti della storia della matematica
La storia della matematica è piena di cosiddetti "problemi aperti", anche detti problemi irrisolti, cioè congetture che sembrano vere ma che nessuno è in grado di risolvere. In verità, nel corso della storia alcuni problemi aperti sono stati risolti a distanza di anni, come per esempio il famoso ultimo teorema di Fermat che fu formulato nel 1637 dal matematico francese Pierre de Fermat e che fu risolto tre secoli dopo, nel 1995 dal matematico inglese. Un'altro esempio è il problema dei quattro colori, formulato nel 1852 e risolto nel 1976.
Periodicamente i maggiori matematici mondiali fanno il punto su i problemi aperti e quelli risolti. Di secolo in secolo, nascono nuove congetture che impegnano le menti dei più fini studiosi. Ma esistono problemi irrisolti da secoli, che pur sembrando intuitivi non riescono a trovare una dimostrazione formale. Un esempio è la congettura di Goldbach, formulata nel 1742, che afferma che ogni numeri intero pari 2m si può scrivere come somma di due numeri primi p+q. Se ci basiamo sulla nostra esperienza, sembra essere vero:
- 4 è uguale a 1+3
- 6 è uguale a 1+5
- 20 è uguale a 3 + 17
- 340 è uguale a 3 + 337
- …e così via
non esiste però, ad oggi, una dimostrazione che ci assicuri che ogni numero pari n=2m può essere scritto come somma di due numeri primi p+q qualunque sia il valore di m.
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