Perché 2+2 non fa sempre 4: in aritmetica modulare dipende dal numero preso in considerazione

In matematica due più due – 2 + 2 – non fa sempre 4, può anche fare 0 oppure 1 a patto che per svolgere il calcolo usiamo le regole dell’aritmetica modulare, anche nota come aritmetica dell’orologio. In questo tipo di aritmetica, basata sul calcolo dei resti delle divisioni intere, i numeri non sono infiniti e quando si supera il numero più grande si ricomincia dal più piccolo, proprio come nell'orologio!

Vediamo come si fanno i calcoli con questi numeri e in che senso 2 + 2 fa, o non fa, 4, e vediamo cosa ha che vedere l'aritmetica modulare rispetto al numero 97 con la verifica dell'IBAN.

L'aritmetica dell'orologio

Partiamo da un esempio concreto. Immaginiamo un orologio che conti il passare dei quadrimestri trascorsi in un anno – che sono 3 – e supponiamo che siano trascorsi 2 quadrimestri su 3 dall’inizio dell’anno. La lancetta indicherà quindi il numero 2.

Facciamo passare altri 2 quadrimestri. Questo significa che saremo arrivati a 2 + 2 = 4 quadrimestri. Ma nel nostro orologio non esiste il 4! Infatti, dopo il 2 torna il numero 0, poi l'1, poi di nuovo il 2. Quindi partendo dal 2, spostando la lancetta di 2 quadrimestri, cadiamo di nuovo sull'1 (come vediamo nella figura sotto).

In altre parole secondo questo orologio 2 + 2 = 1, non 4. Ma non è l’unico risultato strano che possiamo ottenere: ad esempio, se la lancetta si trova sul 2 e aggiungiamo 1 quadrimestre, la lancetta si sposterà sullo 0. Insomma, in questo orologio 2 + 1 = 0 e anche 1 + 2 = 0.

Abbiamo capito che in questo orologio – in questo "mondo numerico" – esistono solo 3 numeri: 0, 1 e 2. E quindi tutti gli altri non esistono? Non proprio. Esistono, ma sono tutti congrui. Cerchiamo di capire cosa significa.

4 e 1 sono "uguali": l'aritmetica modulare

Immaginiamo ora che dall'inizio dell'anno siano passati 3 quadrimestri, quindi la lancetta avrà percorso un giro completo e si troverà sullo 0. Quindi 3 e 0 sono lo stesso numero in questo "mondo"!

Allo stesso modo, la lancetta si troverà sullo 0 nel caso in cui i quadrimestri trascorsi siano 6, 9, 12 o un qualsiasi multiplo di 3. Insomma, in questo "mondo numerico" tutti i multipli di 3 saranno lo stesso numero.

Nel caso, invece, in cui siano passati 4 quadrimestri – come nel nostro esempio del 2 + 2 – la lancetta dopo aver percorso un giro completo – 3 quadrimestri – si sarà fermata sul numero 1 e con il passare del tempo vi ritornerà ogni volta che saranno passati 3 ulteriori quadrimestri.

In altre parole, la lancetta si troverà sul numero 1 quando saranno passati 4, 7, 10, 1000, … quadrimestri, ovvero tutti numeri che divisi per 3 danno come resto 1, infatti:

4 = 3 × 1 + 1
7 = 3 × 2 + 1
10 = 3 × 3 + 1
1000 = 3 × 333 + 1

In matematichese si dice che tutti questi numeri sono congrui 1 modulo 3 e si scrive

4 ≡ 1 (mod 3),
7 ≡ 1 (mod 3)
10 ≡ 1 (mod 3).
1000 ≡ 1 (mod 3).

La stessa cosa accade per il numero 2: tutti i numeri che divisi per 3 danno come resto 2, sono congrui 2 modulo 3, come ad esempio 5, 8, 11 e 14.

In pratica

non ci sono infiniti numeri, ma solo 3, il numero 0, il numero 1 e il numero 2 che corrispondono ai possibili resti delle divisioni per 3.

Questo insieme di numeri, in matematichese, prende il nome di “Z modulo 3”, e si scrive Z3. E si possono definire insiemi numerici di questo tipo partendo da un numero qualunque! Ad esempio Z2 ("Z modulo 2") contiene solo i numeri 0 e 1 (ed è ben diverso dai numeri binari che sono infiniti), Z₁₂ contiene i numeri da 0 a 11 (usato per l'orologio da polso, solitamente con il 12 al posto dello 0), mentre Z24 contiene i numeri da 0 a 23 ed è quello usato per descrivere le 24 ore del giorno!

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