Quanta strada deve fare ogni auto per salvare gli esploratori: la soluzione all’indovinello della jeep

Nel problema delle jeep nel deserto è un famoso rompicapo logico-matematico che ci parla di ottimizzazione delle risorse. La situazione è questa: una violenta tempesta di sabbia ha isolato noi e i nostri tre compagni di spedizione nel mezzo del deserto. L'unico modo per metterci in salvo è raggiungere la città più vicina attraversando centinaia di chilometri in auto senza alcuna possibilità di fare rifornimento ad un distributore lungo il percorso.

Il problema, però, è che le quattro jeep che ancora funzionano hanno un'autonomia limitata: con il pieno possono percorrere soltanto metà della distanza necessaria. Per fortuna, le jeep rimaste sono identiche tra loro, partono tutte con il serbatoio pieno e possono trasferirsi carburante a vicenda.

Riusciremo a far arrivare almeno una jeep in città portando in salvo tutta la spedizione?

La soluzione al problema della jeep

Sappiamo che con un pieno ogni jeep può percorrere metà del tragitto. Questo significa che se riusciamo a portare almeno una jeep alla metà del tragitto con il serbatoio completamente pieno, riusciremo a tornare in città e potremo salvare tutta la spedizione. Per farlo, saremo costretti a lasciare alcune auto nel deserto: il compito delle altre jeep a nostra disposizione, infatti, sarà accompagnare la macchina principale per un tratto del percorso, trasferirle il proprio carburante e fermarsi.

Qual è, quindi, la strategia migliore? Quando dovremo fermarci per trasferire il carburante? Se ci fermiamo troppo tardi ne avremo consumato troppo e non ne resterà abbastanza per il pieno; se ci fermiamo troppo presto, non arriveremo alla metà con tutte le macchine che ci servono.

Siccome abbiamo tre macchine “sacrificabili”, una buona strategia è dividere la prima metà del percorso in tre parti uguali e ad abbandonare una macchina per ognuna di queste parti. La prima tappa, quindi, sarà ad un sesto del tragitto totale, la seconda a due sesti (o un terzo), la terza a tre sesti (cioè metà).

Per essere certi che questa strategia funzioni, dobbiamo capire quanto carburante consumiamo per ogni tratto di tragitto.

Sappiamo che per fare metà della strada c’è bisogno di un pieno intero, di conseguenza:

Per percorrere una certa porzione del tragitto, ci serve sempre il doppio del carburante.

In altre parole:

• per percorrere metà del tragitto serve un serbatoio intero;
• per percorrere un quarto del tragitto serve mezzo serbatoio;
• per percorrere un terzo del tragitto servono due terzi del serbatoio;
• per percorrere un sesto del tragitto servono due sesti (cioè un terzo) del serbatoio.

A questo punto possiamo partire e iniziare a percorrere il primo tratto di strada, lungo un sesto del tragitto totale. Dopo questo primo tratto, ciascuna delle quattro jeep ha consumato un terzo del proprio carburante e ha ancora due terzi del serbatoio disponibili.

Decidiamo quindi di sacrificare la macchina numero 4. Mettiamo un terzo del suo serbatoio totale nella macchina 1 e un terzo nella macchina 2. In questo modo, sia la macchina 1 che la 2 hanno nuovamente il serbatoio pieno, la macchina 4 è a secco, mentre la macchina 3 ha ancora il serbatoio a due terzi. Il guidatore della macchina 4 sale sulla macchina 1 e le tre auto rimaste ripartono.

Le tre auto proseguono ancora per un sesto del tragitto, arrivando così a due sesti (o un terzo) della strada totale. Tutte e tre le auto hanno nuovamente consumato un terzo del serbatoio totale rimanendo con due terzi (per le macchine 1 e 2) e un terzo per la macchina 3. La macchina 3, quindi, si sacrifica e trasferisce tutto il carburante rimasto alla jeep 1. La jeep 1 torna così ad avere il pieno, mentre la jeep 2 conserva due terzi del serbatoio. Anche il conducente della jeep 3 sale a bordo della jeep 1 e le due jeep rimaste ripartono.

Per raggiungere la metà del tragitto devono percorrere ancora un sesto del tragitto totale. Quando arrivano a metà, la jeep 1 ha ancora due terzi del serbatoio, mentre la jeep 2 conserva l'ultimo terzo di carburante. La jeep 2 trasferisce allora tutto il carburante residuo alla jeep 1, che si ritrova con il serbatoio pieno esattamente a metà del percorso.

Da qui in poi il problema è risolto: con un pieno completo e tutti gli esploratori a bordo, la jeep 1 può percorrere la seconda metà del deserto e raggiungere la destinazione.

Questo tipo di problemi e indovinelli in cui un mezzo di trasporto deve massimizzare la distanza percorribile in ambienti ostili, utilizzando risorse limitate e difficili da reperire, sono chiamati appunto “problemi di attraversamento del deserto”. Vengono studiati e applicati nella logistica per ottimizzare i percorsi dei mezzi di trasporto e ridurre i costi dei rifornimenti, ma anche in ambito militare per pianificare le linee di approvvigionamento e garantire la continuità operativa in territori difficili. Un’idea simile compare anche nella progettazione dei lanci dei razzi spaziali, dove i serbatoi vengono sganciati man mano che si svuotano, per poter ottimizzare il peso del razzo, un po' come gli esploratori che hanno abbandonato le jeep nel mezzo del deserto.

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