I numeri primi formano la Spirale di Ulam: l’allineamento diagonale e il legame con le formule quadratiche

Nel 1963, per ingannare il tempo durante una conferenza noiosa, il matematico polacco-americano Stan Ulam iniziò ad annotare i numeri naturali a forma di spirale, decidendo poi di cerchiare solo i numeri primi. Questo semplice passatempo portò a una scoperta sorprendente: all'interno di quella che oggi è nota come Spirale di Ulam, i numeri primi si dispongono con una regolarità inaspettata. Invece di apparire in modo casuale, tendono ad allinearsi lungo specifiche linee diagonali, un fenomeno affascinante che può essere in parte descritto e spiegato proprio attraverso l'uso di formule quadratiche.

Possiamo costruire questa spirale procedendo così: scriviamo il numero 1 al centro e alla sua destra scriviamo il numero 2, poi sopra al 2 scriviamo il numero 3, quindi scriviamo 4 a sinistra del 3 e poi continuiamo formando una spirale come quella dell’immagine sotto. Fino a questo punto si tratta di una semplice spirale ma, possiamo ottenere una vera Spirale di Ulam evidenziando graficamente i numeri primi, ad esempio noi lo abbiamo fatto noi scrivendo i numeri primi in rosso su sfondo grigio scuro.

L’immagine che si ottiene, a prima vista, non sembra avere niente di speciale ma Ulam non si fermò al numero 20 e si rese conto che, estendendo la spirale, i numeri primi si dispongono in maniera curiosamente regolare (vedi immagine sotto).

Il matematico si aspettava di trovare una disposizione sostanzialmente casuale, ma con sua sorpresa si accorse che nella sua spirale i numeri primi si disponevano formando una trama piuttosto regolare allineandosi lungo direttrici diagonali. L'effetto risulta tanto più evidente quanti più numeri contiene la spirale e per evidenziarlo ci siamo avvalsi dell'aiuto del computer (come fece anche Ulam) per creare un'immagine di una spirale costituita da 120000 numeri.

La regolarità con cui sembrano disporsi i numeri primi sorprese Ulam, ma il matematico si rese conto che questa regolarità non era casuale, bensì aveva a che vedere con alcune formule che possono essere usate per produrre sequenze di numeri primi. Si tratta di formule quadratiche, cioè che prevedono che un numero sia moltiplicato per se stesso, grazie alle quali è possibile evidenziare alcuni pezzi di diagonali della spirale di Ulam. Proprio usando 3 di queste formule abbiamo potuto evidenziare alcune delle linee diagonali formate dai numeri primi nella spirale di Ulam: per i numeri in blu abbiamo usato la formula di Legendre (ricavata da una formula di Eulero), n × n – n + 41; i numeri evidenziati in verde sono stati trovati con la formula di Honaker, 4 × n × n + 4 × n + 59; infine i punti rossi sono stati individuati con la formula n × n – n – 13 liberamente ricavata da noi modificando la formula di Legendre.

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