Il paradosso di Monty Hall: la spiegazione del gioco delle tre porte e il calcolo delle probabilità

Con “problema di Monty Hall” (o paradosso di Monty Hall) ci si riferisce a un famoso e solo apparente enigma che rientra nell'ambito del calcolo delle probabilità. Questo paradosso prende il nome dal conduttore del game show statunitense Let's Make a Deal in cui i partecipanti devono stringere degli accordi – deals –  proprio con Monty Hall (pseudonimo di Maurice Halprin).
La dicitura “paradosso” per questo che in realtà è un problema, è dovuta al fatto che la soluzione sembra contraddire le nostre intuizioni di base, ma a dirla tutta – al contrario di quanto accade per il caso del paradosso del barbiere ad esempio – qui non c’è nessun inghippo logico.

Come funziona il gioco delle tre porte: formulazione del problema

Il gioco parte con un concorrente posto davanti a tre porte chiuse. Il concorrente sa che dietro a solamente una di queste porte si trova un’automobile, mentre dietro le altre due c’è per ciascuna una capra. Chiaramente il concorrente non ha idea di quale sia la porta che cela l’automobile. Il giocatore, come prima mossa, può scegliere una delle tre porte e avere come premio ciò che sta dietro la porta selezionata, la speranza è chiaramente di poter vincere la macchina!

Una volta avvenuta la selezione della porta da parte del giocatore essa rimane chiusa e subentra il conduttore. Quest’ultimo sa benissimo cosa c’è dietro ogni porta e apre una delle due porte rimanenti, rivelando una delle due capre.

A questo punto il conduttore dà la possibilità al giocatore di modificare la porta scelta inizialmente, selezionando quindi l’unica porta rimanente.

Vista la situazione, la matematica suggerisce sempre di cambiare giunti a questo passaggio, perché la scelta della porta rimanente fa crescere la probabilità di vincere l’automobile portandola da 1/3, ovvero il 33% circa, fino a 2/3, ovvero circa il 66%. Ma com’è possibile che sia così?

Soluzioni al problema di Monty Hall

Per arrivare alla soluzione di questo problema proviamo a visualizzare i tre scenari possibili, come se fossimo esterni al gioco e a conoscenza di tutto ciò che si cela dietro le porte:

1. Il giocatore nella prima scelta seleziona la porta con dietro una capra. In questo caso la chiamiamo "capra 1" perché ci sono in totale due capre.
   Poi il conduttore sceglie l'altra porta con dietro quella che possiamo chiamare la "capra 2".
   A questo punto al giocatore conviene cambiare porta. Scegliendo la porta rimanente vince l'automobile.
2. Il giocatore nella prima scelta seleziona la porta con dietro la "capra 2".
   Il conduttore sceglie la porta che cela la "capra 1".
   Anche in questo caso al giocatore conviene cambiare porta per poter vincere l'automobile.
3. Il giocatore nella prima scelta seleziona la porta con dietro l'automobile.
   Il conduttore sceglie la porta che cela una delle due capre, è indifferente quale.
   Solo in questo caso al giocatore non conviene cambiare porta.

La soluzione schematica al problema

Guardando attentamente a questi scenari vediamo che nel momento della prima scelta il giocatore ha sempre 1/3 di probabilità di selezionare la porta con l'auto e 2/3 di probabilità di scegliere una delle porte con la capra. Dopodiché c'è l'azione del conduttore, che sceglie e apre una porta in cui sicuramente c'è una capra (visto che è a conoscenza di tutto). Quello che fa il conduttore ovviamente non influisce sulla probabilità della scelta iniziale del giocatore.

A questo punto il giocatore è certo che una delle due porte rimaste chiuse (quella scelta da lui o l'altra) nasconde la macchina. Quindi o è stato particolarmente fortunato con la scelta iniziale (come vediamo nello scenario 3) e non ha nessuna convenienza a cambiare (1 caso su 3). Oppure, se la prima scelta fosse stata sfortunata e avesse selezionato una delle due porte che nascondono una capra, allora si ritroverebbe nello scenario 1 o 2 e quindi sarebbe sempre meglio per lui cambiare porta (2 casi su 3).

Ecco quindi che in generale, vista la probabilità, è sempre meglio cambiare se non si è a conoscenza dell'esito della prima scelta. Tutto ciò si capisce schematicamente, visualizzandolo, ma anche le formule matematiche ce lo dimostrano.

Le regole della probabilità: il Teorema di Bayes

Per aiutarci nella soluzione teorico-matematica dobbiamo fare affidamento a uno dei teoremi più importanti del calcolo della probabilità, noto come Teorema di Bayes dal nome dello studioso che lo ha elaborato. Questo teorema mette in relazione la probabilità di un evento come l'evento di trovare l'auto dietro la porta, con la probabilità di questo stesso evento se cambiano le condizioni di altri eventi ad esso legati.
La formula è la seguente:

In questa formula A e B sono due eventi, P(A) è la probabilità dell'evento A, P(B) è la probabilità dell'evento B, P(A|B) è la probabilità dell'evento A quando si verifica B e P(B|A) è la probabilità di B quando si verifica anche A.

Torniamo al paradosso di Monty Hall, sappiamo che ci sono tre porte e chiamiamo:
– E1 l'evento "c'è un'automobile dietro la porta 1";
– E2 l'evento "c'è un'automobile dietro la porta 2";
– E3 l'evento "c'è un'automobile dietro la porta 3".

E in più, ponendoci dal punto di vista del giocatore chiamiamo anche:
– C1 l'evento "c'è una capra dietro la porta 1";
– C2 l'evento "c'è una capra dietro la porta 2";
– C3 l'evento "c'è una capra dietro la porta 3".

Ora mettiamo che il concorrente scelga la porta 1  e che il conduttore apra la porta 3 dietro la quale si trova ovviamente una capra.

Se vogliamo sapere qual è la probabilità di trovare l'auto dietro la porta 2, (quindi la probabilità che cambiando la scelta si trovi la macchina) sapendo che dietro alla porta 3 c'è una capra, applichiamo il teorema di Bayes:

Ora calcoliamo i valori.
– P(E2) ovvero la probabilità che ci sia un'automobile dietro la porta 2 è uguale a 1/3 perché inizialmente c’è solo una macchina dietro una delle 3 porte;
– P(C3) ovvero la probabilità che ci sia una capra dietro la porta 3 prima che il conduttore la apra è uguale a 1/2 perché è la probabilità che dietro alla porta 3 ci sia una capra sapendo che il conduttore deve scegliere tra le due porte non scelte dal concorrente.
– P(C3|E2) ovvero la probabilità che ci sia una capra dietro la porta 3 sapendo che dietro la porta 2 c'è l'automobile (cosa che sa il conduttore) è uguale a 1.
Sostituendo questi valori alla formula otteniamo che la probabilità di trovare l'auto dietro la porta 2 è:

In questo modo si dimostra matematicamente che c'è una probabilità di 2/3 o di poco più del 66% di vincere l'automobile se si cambia la propria scelta iniziale, che è chiaramente più elevata del restante 33% di probabilità di vittoria che si avrebbe se non si cambiasse la porta selezionata inizialmente.