Il paradosso dei gemelli: la spiegazione semplice tramite la teoria della relatività

Sicuramente avrete sentito parlare del paradosso o problema dei due gemelli, legato alla teoria della relatività di Einstein e ispiratore di film come Interstellar.
Il paradosso dei gemelli è un esperimento mentale che sembra contraddire parte della teoria della relatività ristretta: si tratta di un rompicapo che ha messo alla prova numerosi scienziati del secolo scorso, molti dei quali hanno proposto svariate strategie risolutive. In questo articolo proviamo a capire come si genera il paradosso, perché non è un vero e proprio paradosso e qual è la sua soluzione definitiva.

Cosa dice l'esperimento mentale dei gemelli

Il paradosso parte da questa situazione: abbiamo due gemelli, nel nostro caso si chiamano Armando e Bartolomeo. Armando rimane sulla Terra e Bartolomeo viaggia su un’astronave ad una velocità approssimabile a quella della luce. Ora, il problema sta nel fatto che nel momento in cui Bartolomeo torna sulla Terra, è invecchiato meno del fratello gemello Armando rimasto sul nostro pianeta.

Dobbiamo fare una premessa fondamentale: il tempo non è una grandezza assoluta che rimane sempre uguale, ma è relativo – come dimostra Einstein – perché dipende dal moto del sistema di riferimento che prendiamo in considerazione. Questa è una conseguenza della relatività: la dilatazione dei tempi, ovvero il fenomeno relativistico per il quale la misurazione del tempo varia a seconda dello stato del sistema di riferimento, fa sì che le persone in movimento invecchiano più lentamente di quelle che stanno ferme.

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Ora, torniamo al rompicapo: il motivo per cui è definito "paradosso" è che, in questo caso specifico, sembra contraddire una delle assunzioni principali della relatività, ovvero quella che dice che tutte le persone possono egualmente affermare di essere immobili e che siano gli altri a muoversi rispetto a loro.
Stando a questa assunzione, Bartolomeo – il gemello nell’astronave – potrebbe dire che lui non si sta muovendo, ma a muoversi è la Terra con Armando. Quindi, visto che è Armando che si muove, è Armando che invecchia più lentamente di lui. Perciò, stando al suo punto di vista, quando torna sulla Terra, Bartolomeo dovrebbe essere il più vecchio dei due.
Dall’altra parte, anche Armando vede l’astronave allontanarsi, e quindi – essendo in movimento – Bartolomeo dovrebbe invecchiare più lentamente di lui. Insomma al ritorno di Bartolomeo, Armando dovrebbe essere il più vecchio dei due.

Solo uno dei due punti di vista deve essere corretto, non possono essere corretti entrambi e per questo si è spesso parlato di “paradosso”. In realtà c’è una spiegazione e questo non è un vero e proprio paradosso. Esiste un modo per far concordare i due gemelli e, in particolare, sul fatto che Bartolomeo sia invecchiato di meno e che Armando sia quindi il più vecchio dei due al ritorno del gemello.

Una soluzione incompleta: la differenza tra i sistemi di riferimento

Cerchiamo di vederci chiaro: c’è una spiegazione che viene data nella maggior parte dei casi e riguarda l'apparente simmetria tra i due sistemi di riferimento, cioè la Terra e l’astronave. Ognuno dei due gemelli osserva l’altro e vede che il tempo dell’altro sembra scorrere più lentamente.
L’errore risiede proprio in questa ipotesi: nonostante le apparenze, non vi è alcuna simmetria tra i due gemelli e i loro sistemi di riferimento non sono uguali.

Quando Bartolomeo parte con l’astronave, prima di raggiungere la velocità di regime che si avvicina a quella della luce, subisce un’accelerazione e una decelerazione: si sente schiacciato contro il sedile dell’astronave in fase di partenza e poi tirato in avanti e bloccato dalle cinture di sicurezza in fase di frenata.
Questo vuol dire che il sistema di Bartolomeo è un sistema di riferimento che si dice “non inerziale”, ovvero che non si muove a velocità costante.
Al contrario, mentre Bartolomeo è in viaggio, Armando è in un sistema di riferimento che può essere assimilato a un sistema inerziale (ai fini di illustrare il paradosso possiamo immaginare la Terra ferma) e per questo motivo, essendo diversi i due sistemi, non è possibile paragonare i due tempi.
Questa risoluzione ha i suoi vantaggi, ma non è totalmente corretta. Sarebbe infatti possibile fare a meno di considerare l’accelerazione e ipotizzare – per assurdo – che la velocità venga raggiunta da Bartolomeo istantaneamente e poi rimanga costante.

La soluzione dettagliata del paradosso

Ripartiamo dall'ipotesi (assurda) che l'astronave di Bartolomeo, il gemello viaggiatore, raggiunga la velocità istantaneamente e che poi essa resti costante. Per proseguire con la spiegazione dobbiamo prendere in considerazione due nozioni fondamentali della teoria della relatività: la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze:

1.  la dilatazione dei tempi  fa sì che la misurazione del tempo vari a seconda dello stato del sistema di riferimento – se il sistema è fermo o se il sistema è in moto si otterranno risultati diversi;
2. la contrazione delle lunghezze è un fenomeno speculare al precedente – la misurazione di una distanza/lunghezza varia sulla base del sistema di riferimento.

Torniamo al gemello sull'astronave: quando Bartolomeo parte con l’astronave a una velocità simile a quella della luce percorre una distanza che di fatto si contrae rispetto a quello che visualizzava quando progettava la partenza da Terra. Contraendosi la distanza da compiere, chiaramente impiegherà meno tempo a percorrerla.

Esempio esplicativo: viaggio verso Alpha Centauri

Visualizziamo un esempio che colleghi questi due fenomeni: poniamo che Bartolomeo voglia raggiungere Alpha Centauri, una stella a 4 anni luce da noi, con un’astronave capace di raggiungere l’80% della velocità della luce, e poi tornare indietro. Questo significa che dovrà stare nello spazio per 10 anni: 5 per l’andata e 5 per il ritorno.

Invece, quando Bartolomeo effettivamente parte, la distanza tra lui e la stella si contrae per effetto della relatività (contrazione delle lunghezze) e diventa di soli 2,4 anni luce, percorribili in 3 anni! Quindi, Bartolomeo la percorre in 3 anni all’andata e 3 anni al ritorno. Totale 6 anni.
Quindi, dal punto di vista di Armando, nel tempo di viaggio di Bartolomeo, Armando è invecchiato di 10 anni e Bartolomeo è invecchiato solo di 6 anni.

Ma come funziona dal punto di vista di Bartolomeo? Per lui le cose funzionano in modo diverso.
Nel viaggio di andata Bartolomeo vede il tempo di Armando scorrere più lentamente (dilatazione dei tempi): nei 3 anni di viaggio Armando gli apparirà invecchiato di 1,8 anni. Idem per il viaggio di ritorno: Bartolomeo invecchierà di altri 3 anni, ma vedrà Armando invecchiare di 1,8 anni. In totale 3,6 anni.
Quando però torna, Armando è invecchiato di 10 anni: da dove vengono i 6,4 anni che mancano?

Ecco l'inghippo: quando Bartolomeo arriva su Alpha centauri vede Armando invecchiato di 1,8 anni. Il punto è che Bartolomeo non sta vedendo tutto l'invecchiamento di Armando ma solo una sua parte. In pratica vede un Armando "del passato", potremmo dire. Questo è legato al fatto che il viaggio di andata è un sistema di riferimento, mentre il viaggio di ritorno è un altro sistema e in ognuno dei due le misure del tempo sono diverse. Quando ad esempio l'astronauta inizia a tornare verso la Terra, cambierà sistema di riferimento e vedrà che Armando è invecchiato di colpo di esattamente 6,4 anni.

Gli stessi effetti della relatività nella vita reale

Questo era il famoso paradosso dei gemelli, che ci ha costretto a usare l'immaginazione. Ma c'entra qualcosa con la nostra vita di tutti i giorni?
Abbiamo visto che la contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi sono fenomeni relativistici, ma questo non vuol dire che si applicano esclusivamente a velocità prossime a quella della luce. In effetti questi fenomeni sono più “visibili” a quelle velocità, ma si hanno sempre.

Pensate che la contrazione dei tempi è stata misurata per la prima volta nel 1971 portando un orologio atomico a bordo di un aereo e lasciandone un altro a terra.
Quando si vola verso est, la velocità rispetto a un sistema di riferimento inerziale (quello del Sole è una approssimazione sufficiente) si somma a quella di rotazione terrestre, mentre volando verso ovest si sottrae. Gli effetti della velocità dell’aereo e della rotazione terrestre fanno sì che il tempo dell’orologio sull’aereo che vola verso est (che va più veloce rispetto alla rotazione terrestre) scorra più lentamente rispetto a quello rimasto a Terra! La differenza è di appena qualche decina di miliardesimi di secondo, ma comunque una quantità misurabile!