La magia geometrica del Noperthedron: perché questa figura non può passarsi attraverso

Esiste una nuova figura geometrica, il Noperthedron, un poliedro convesso che sfida le leggi della geometria perchè non riesce a passare dentro se stessa. In matematichese, si dice che il Nopethedron ha smentito la proprietà di Rupert, che vedremo tra poco.

Ma cosa vuol dire che non riesce a passarsi attraverso? Cerchiamo di capirlo con un esempio.

Immaginiamo di avere due cubi identici e di scavare un buco in uno dei due in modo da farci passare dentro l'altro. Questa procedura è sicuramente possibile e lo sappiamo grazie ad una scommessa vinta dal Principe Ruperto del Reno alla fine del XVII secolo. Ma sarà possibile fare la stessa cosa con qualsiasi altro solido? Per un po’ si è pensato che la risposta fosse sì per tutti i solidi convessi, quelli senza rientranze, fino a che, nel 2025 gli austriaci S. Yurkevich e J. Steininger non hanno inventato il Noperthedron, un solido convesso che non gode della proprietà di Rupert, ovvero non riesce a passarsi attraverso.

Alla fine del XVII secolo una persona non identificata sfidò il Principe Rupert del Reno sostenendo che:

dati due cubi identici non è possibile prenderne uno e scavarci un foro abbastanza grande da farci passare l’altro cubo dentro senza spezzare in due il primo cubo.

Cerchiamo di capire, immaginiamo di prendere un dado da gioco e di forarlo da parte a parte con un trapano. Se la punta che usiamo non è troppo piccola avremo un foro dentro il quale può passare, ad esempio, un chicco di riso. Immaginiamo ora di allargare un po’ il forellino, dandogli una forma squadrata invece che circolare, possiamo immaginare di provare a farci passare dentro un altro dado.

Ma sarà possibile farci passare un dado identico a quello che abbiamo bucato, delle stesse esatte dimensioni?

Intuitivamente verrebbe da pensare che non importa quanto allarghiamo il foro: non riusciremo mai a farci passare il dado dentro. Al contrario, secondo il principe Rupert doveva esistere la maniera di bucare il dado, magari provando diverse angolazioni, in modo da riuscire a di farci passare attraverso un secondo dado identico.

Rupert vinse la sua scommessa, come dimostrato dal matematico inglese John Wallis, sempre alla fine del XVII secolo, che mostrò come con un foro diagonale rispetto al dado sia possibile farci passare dentro un dado identico.

Per riuscire nell'impresa occorre realizzare nel primo cubo un foro particolare, con misure ben precise, realizzando un particolare cubo bucato che prende il nome di cubo di Ruperto (o Rupert’s cube, vedi figura sotto).

Il cubo quindi, possiede una caratteristica piuttosto curiosa, riesce ad attraversare se stesso, e in matematica quando si pensa che una caratteristica di un oggetto matematico sia in qualche modo interessante le si da un nome. In questo caso si parla di proprietà di Rupert ovvero della

capacità di un solido di passare attraverso se stesso tramite un foro che non lo spezzi in due.

Per circa 400 il cubo è rimasto anni l’unico solido noto a godere della proprietà di Rupert, ma nel 1968 lo storico della matematica Christoph Scriba ha dimostrato che anche il tetraedro (la piramide equilatera a base triangolare) e l’ottaedro (due piramidi a base quadrata incollate tramite la faccia quadrata) godono di questa proprietà.

Negli anni seguenti è stato dimostrato che anche altre forme abbastanza regolari, come il pallone da calcio (quello odierno fatto con esagoni e pentagoni), godono della proprietà di Rupert, e si è iniziato a pensare che tutti i solidi convessi ne godessero. I solidi convessi sono quei solidi che hanno facce piatte e che non hanno rientranze, per intendersi una scatola senza coperchio non è convessa perché ha una rientranza, mentre una scatola cubica chiusa è convessa perché non ha rientranze.

Nel 2017 è stata formulata una congettura secondo cui tutti i solidi convessi dovrebbero godere della proprietà di Rupert, ma come sappiamo una congettura rimane tale fino a che non viene dimostrata o confutata, fino a quel momento non possiamo essere sicuri se sia vera o falsa. Questa congettura, in effetti, si è rivelata falsa visto che nel 2025 S. Yurkevich e J. Steininger hanno inventato il Noperthedron che, nonostante sia convesso non riesce a passare attraverso se stesso, qualunque sia il modo in cui lo foriamo.

Il Noperthedron, un solido con ben 90 vertici, 240 spigoli e 152 facce, è chiamato in questo modo combinando la parola no con pert, la parte finale del nome Rupert, proprio perché questo solido non riesce a passarsi attraverso, ovvero non gode della proprietà di Rupert: la sua magia sta proprio nel fatto che, per quanto ne sappiamo, è l'unico solido convesso che non riesce a passarsi attraverso.

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