Il diagramma cartesiano è un grafico costruito per rappresentare un fenomeno continuo dipendente da due grandezze.

Si dice che le migliori invenzioni non vengano da un giorno all’altro, ma pare che il 10 novembre del 1619 il giovanissimo René Descartes, italianizzato Renato Cartesio, si sia svegliato con l’idea che avrebbe trasformato la storia della scienza moderna.

E’ il suo biografo a raccontarci che – dopo aver fatto una serie di strani sogni in cui si chiedeva quale sarebbe stata la sua strada nella vita – il ventitreenne Cartesio realizzò lo strumento che avrebbe aperto l’umanità alla geometria analitica: il diagramma cartesiano.

Oggi vi raccontiamo quindi dell’origine degli assi cartesiani e di come sia venuta in mente una cosa del genere a quel genio di Cartesio!

Come nasce l’idea?

Il sistema di riferimento cartesiano è costituito da due rette ortogonali orientate che si intersecano in un punto.

Per capire esattamente come si sviluppa questa idea, tanto semplice quanto efficace, dobbiamo usare la nostra esperienza quotidiana.

Pensiamo a una città che si sviluppa attorno all’incrocio di due grandi strade: una che va da nord a sud e una da est a ovest. E’ proprio in questo modo che Cartesio traccia due linee rette perpendicolari, gli assi, che dividono lo spazio circostante in quattro parti uguali, i quadranti.

I due assi, le strade di partenza, si trovano in un punto, il loro incrocio, che Cartesio chiama origine.

Dopodiché, a partire dall’origine, è possibile muoversi sulla strada orizzontale, ovvero l’ asse delle ascisse, o asse x, oppure su quella verticale, ovvero l’asse delle ordinate o asse y, contando e numerando tutte le strade parallele alle ascisse e, allo stesso modo, quelle parallele alle ordinate.

Così, selezionando la via orizzontale numero 1 e la strada verticale numero 3, ad esempio, sarà possibile individuare esattamente il loro incrocio, il punto nello spazio in cui si incontrano.

Come funziona il diagramma?

Ripensiamo alle strade dell’esempio precedente e immaginiamo di essere noi un punto che si muove nello spazio facendo una passeggiata in questa città. Al nostro percorso corrisponderà una serie di coppie di coordinate, una x e una y, e ad ogni coppia corrisponderà un punto da cui siamo passati.

Le coordinate del nostro percorso saranno descritte dall’equazione della curva!

Quella scrittura composta da incognite e segni che sembra così complicata, in realtà è predisposta proprio per descrivere un tragitto di un punto nello spazio.

Dunque, partendo dall’equazione, sarà possibile visualizzare geometricamente nello spazio un qualsiasi percorso.

Ad esempio: se, camminando sempre dritto per le nostre strade, tracciassimo un percorso in linea retta, avremmo un’equazione particolare (es. y = 2x + 3) per descriverla e, in più, la possibilità di generalizzarla (es. y = mx + q) studiando tutti i percorsi descrivibili con quella stessa equazione sul piano!

Proprio quel Cartesio che nei sogni si chiedeva quale sarebbe stata la sua strada, inventa un sistema di riferimento per poter tracciare tutti i percorsi del mondo, è come avere a disposizione una bussola per orientarsi in un qualsiasi spazio!

Ma prima come si faceva?

Renato Cartesio, matematico e filosofo, non è l’unico né il primo a pensare un sistema di coordinate, né tanto meno a occuparsi di geometria: antichi egizi, sumeri e babilonesi avevano già questi strumenti a disposizione, che poi furono sistematizzati da matematici greci come Pitagora a partire dal VI secolo a.C..

Inoltre un sistema di assi e coordinate molto simile a quello cartesiano era stato già studiato nel tardo medioevo da Nicola d’Oresme, studioso francese al servizio di Carlo V di Francia che però non ebbe la fortuna di dare il suo nome all’intuizione.

Questo vuol dire che Cartesio non è stato poi così tanto originale? Tutt’altro!

Col suo testo La Geometria, appendice al Discorso sul Metodo che vedrà luce nel 1637, René Descartes segnerà una vera e propria svolta epocale. Infatti è in questo testo che mette definitivamente a disposizione per tutti il suo sistema in grado di fare ordine nell’apparente caos del mondo. Ci svela come leggere il nostro mondo per capirlo a fondo, orientarci in esso e prederne le misure.

La novità è tutta qui: se gli antichi greci partivano dalle figure della geometria elementare (cerchi, triangoli, quadrati ecc..), da Cartesio in poi si possono capire queste stesse figure a partire dall’equazione che le descrive e possiamo riprodurle sul piano cartesiano.

Cartesio è riuscito a prendere la geometria da un lato, l’algebra dall’altro e le ha unite in una nuova grande fonte di conoscenza.

Gli sviluppi dell’invenzione

Le potenzialità di questa intuizione sono state scoperte piano piano nei secoli.

Infatti col sistema di riferimento cartesiano non solo possiamo studiare le figure bidimensionali collocate sul piano, ma basterà aggiungere un terzo asse z, perpendicolare ai primi due, per realizzare uno spazio tridimensionale in cui studiare anche i solidi.

Ma c’è di più: nello spazio geometrico della meccanica e della relatività, studiato a partire da più di due secoli dopo Cartesio, entrano in gioco ben quattro coordinate e dunque quattro assi: le tre dimensioni spaziali e il tempo.

La cosa incredibile è che questo meccanismo di aggiunte potrebbe essere replicato all’infinito, per un qualsiasi spazio teorizzato dai matematici con un numero di coordinate e assi a piacere!

La verità è che Cartesio non solo ci ha dato un metodo per capire la realtà in cui viviamo tutti i giorni, ma forse anche una base per immaginarne e studiarne di nuove, esplorando le alternative teoriche e astratte che la matematica può offrire.

Articolo a cura di
Camilla Ferrario