OpenAI forse ha risolto il problema del millennio dell’equazione di Navier-Stokes, ma potrebbe aver copiato

"OpenAI forse ha risolto le equazioni di Navier-Stokes", uno dei cosiddetti problemi del millennio, cioè i 7 problemi matematici che vengono considerati tra i più difficili e importanti mia formulati. Questo è quanto dichiarato l'8 settembre dall'azienda che sviluppa Chat-GPT. Se la risoluzione del problema risultasse corretta, si tratterebbe di un traguardo scientifico importantissimo: le equazioni di Navier-Stokes, infatti, sono fondamentali per la comprensione dei fluidi e vengono utilizzate in moltissimi ambiti differenti, dalla progettazione di aerei e navi alle previsioni meteorologiche.

L’annuncio, però, è già al centro di alcune polemiche all'interno della comunità scientifica: mentre OpenAI descrive il traguardo come una vittoria tecnologica dell'AI, il matematico Tristan Buckmaster, professore alla New York University, ha affermato che OpenAI avrebbe utilizzato alcune sue importanti scoperte sul tema per addestrare i suoi modelli e renderli così capaci di risolvere il problema.

Cosa sono i problemi del millennio e le equazioni di Navier-Stokes

Prima di tutto, cosa sono i cosiddetti "problemi del millennio"? Si tratta di 7 problemi matematici particolarmente complessi, individuati nel 2000 (da cui il nome) per la cui soluzione il Clay Mathematic Insitute – un importante istituto matematico internazionale – ha messo in palio un premio di un milione di dollari ciascuno. Fino ad oggi, solo uno dei 7 problemi – quello relativo alla Congettura di Poincaré – era stato risolto dal matematico russo Grigori Perelman.

Il problema che OpenAI potrebbe aver risolto riguarda l’"esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes". Queste equazioni, formulate nell'Ottocento da Claude-Louis Navier e da George Gabriel Stokes, servono a descrivere il movimento dei fluidi, cioè dei gas e dei liquidi. Semplificando, le equazioni di Navier-Stokes mettono in relazione velocità, pressione, densità e viscosità di un fluido in un certo istante, così da poterne prevedere l'andamento negli istanti successivi.

Nella pratica ingegneristica, e dunque nell'applicazion al mondo reale, le equazioni di Navier-Stokes funzionano molto bene, fornendo ottime previsioni confermate dall'esperienza. Ma dal punto di vista teorico, alcuni aspetti del loro comportamento non sono ancora stati compresi fino in fondo. Insomma, manca una dimostrazione rigorosa del fatto che le soluzioni si comportino sempre in modo regolare.

E quindi, cosa dice il problema del millennio su queste equazioni? La domanda alla base è molto complessa dal punto di vista matematico, ma – semplificando molto – ci si chiede se esiste sempre una soluzione a queste equazioni che, se funziona in un certo istante, funzioni in ogni altro istante futuro, cioè che sia in grado di descrivere la velocità del fluido senza “impazzire”.

In matematichese, “funzionare sempre” si dice “non avere singolarità”, cioè non avere situazioni limite in cui le equazioni "si rompono" e smettono di dare risultati "sensati", il cosiddetto blow-up.

L'esempio del caffè e della velocità infinita

Facciamo un esempio per capire cosa significa ciò che abbiamo descritto. Immaginiamo prendere un cucchiaino e di dare una mescolata al nostro caffè (che è un fluido). La soluzione alle equazioni di Navier-Stokes dovrebbe dirci – partendo dall'istante zero in cui il caffè era fermo e sapendo quanto veloce abbiamo girato il cucchiaino – quanto velocemente si muove ogni singola goccia di caffè, in ogni punto della tazzina, istante per istante.

A livello pratico noi sappiamo benissimo che il caffè, dopo la nostra mescolata, non arriverà mai ad avere una velocità infinita, perché non esiste nella realtà una velocità infinita. Ma nel mondo matematico esiste.

Quindi, il nostro problema del millennio si chiede se esiste un valore T finito – tipo 5 secondi – che se lo mettiamo dentro alla nostra equazione di Navier-Stokes che descrive il moto del nostro caffè, partendo dalle nostre condizioni iniziali, ci dà come risultato infinito. Matematicamente potrebbe accadere – il valore infinito come risultato è accettato – ma nella realtà no.

In questo scenario, l'equazione prima di quell'istante era fedele, regolare, mentre dopo l'istante T, l'equazione "si è rotta", non è più in grado di fornire un risultato.

La soluzione e l'utilizzo di 10.000 agenti AI

Come abbiamo detto, OpenAI ha dichiarato di aver usato il proprio modello interno più avanzato, non ancora disponibile al grande pubblico, per risolvere il problema che abbiamo appena descritto, ottenendo il seguente risultato:

ci sono delle condizioni per cui un fluido inizialmente fermo e regolare può raggiungere velocità infinita sotto l’azione di una forza regolare.

In particolare, la soluzione descritta riguarda un vortice che si avvita su se stesso, si allunga e accelera progressivamente, restringendosi sempre di più, mentre la sua energia rimane finita, come richiesto dalle leggi della fisica.

Per arrivare a questo risultato, OpenAI ha dichiarato di aver utilizzato diversi agenti AI, cioè intelligenze artificiali capaci di compiere azioni autonome o semi autonome coordinati tra loro. Gli agenti potevano eseguire codice e accedere alle informazioni disponibili su internet in maniera protetta, ed erano basati su un nuovo modello di ChatGPT non ancora rilasciato al pubblico.

L’azienda racconta di aver testato inizialmente il sistema sulle equazioni di Eulero, una versione semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, impiegando circa cento agenti per una cinquantina di ore. Dopo questo primo risultato, OpenAI ha spostato le proprie risorse sulle equazioni di Navier-Stokes, arrivando a impiegare circa diecimila agenti in parallelo.

Secondo quanto dichiarato dall’azienda, la soluzione sarebbe stata trovata 88 ore dopo l’avvio del progetto, con costi computazionali pari a milioni di dollari. Nonostante questo, nel caso in cui la soluzione al problema del millennio venisse confermata come corretta, OpenAI ha dichiarato di non voler richiedere il milione di dollari previsto dal premio.

Questo risultato dovrà ora essere sottoposto a un processo di verifica indipendente da parte della comunità scientifica. In questo caso, però, la verifica potrebbe essere più delicata del solito. Proprio mentre OpenAI pubblicava il proprio risultato, infatti, due ricercatori che stavano lavorando sullo stesso problema hanno dichiarato di essere arrivati a una soluzione parziale e hanno sollevato il sospetto che l’azienda possa aver utilizzato le loro conversazioni con l’AI per addestrare il modello che ha affrontato il problema.

OpenAI è accusata di aver “copiato” le dimostrazioni di due utenti

Il giorno prima dell'annuncio di OpenAI, il matematico Tristan Buckmaster della New York University e Levent Alpöge, ricercatore di Anthropic, hanno reso pubblici alcuni risultati parziali sul problema di Navier-Stokes a cui stavano lavorando da mesi.

I risultati erano stati ottenuti con l’aiuto di diversi modelli di AI, tra cui Claude, sviluppato da Anthropic, e Codex, sviluppato da OpenAI. Oltre a questi risultati, Buckmaster ha pubblicato un comunicato in cui racconta la propria versione dei fatti: OpenAI avrebbe iniziato a lavorare sul problema solo dopo aver sentito alcune voci secondo cui Anthropic, l’azienda per cui lavora Alpöge, sarebbe stata vicina a risolvere il problema del millennio. Da qui nasce il sospetto dei due ricercatori che OpenAI abbia iniziato ad addestrare il nuovo modello dopo aver appreso della notizia e che, per farlo, abbia utilizzato proprio le conversazioni che i due avevano avuto con Codex.

Nella propria ricostruzione, Buckmaster racconta anche di aver provveduto a contattare OpenAI per discutere della situazione e aver ricevuto due proposte. La prima prevedeva un annuncio congiunto sulla scoperta, con la pubblicazione del suo lavoro seguita il giorno dopo da quella di OpenAI. La seconda consisteva in un unico articolo a firma di Buckmaster sul risultato relativo alle equazioni di Navier Stokes, nel quale sarebbe stato riconosciuto anche il contributo del modello di OpenAI. In entrambi i casi, però, Buckmaster avrebbe dovuto escludere dal lavoro Alpöge, che lavora per un’azienda concorrente.

OpenAI, dal canto suo, ha risposto alle accuse dichiarando di non aver avuto accesso al lavoro dei due ricercatori prima della sua pubblicazione e, in particolare, di non aver utilizzato dati specifici degli utenti per risolvere il problema. L’azienda ha però precisato di non poter escludere che dati anonimizzati, derivati dall’uso dei propri prodotti in generale, abbiano contribuito al miglioramento dei suoi modelli.

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