Perché è impossibile pettinare una palla pelosa: la spiegazione del teorema

Pettinare una palla pelosa è impossibile, ce lo dice la matematica! Ed esiste proprio un teorema: il teorema della palla pelosa, dimostrato nel 1912 dal matematico Olandese Luitzen Brower. Detto in termini pop, questo significa che se proviamo a pettinare una palla pelosa, i peli devono per forza accavallarsi o formare radure, e non riusciamo mai ad ottenere una pettinatura uniforme. In questo articolo vi spieghiamo il teorema partendo dall'esempio dei tappeti pelosi e, passando dall'esempio dei campi di grano e del cerchio peloso, chiariremo cosa hanno a che fare le parole campo vettoriale e continuo con le palle pelose. Vedremo, infine, come questo teorema trova un’applicazione molto concreta nella realizzazione della fusione nucleare.

Il teorema della palla pelosa spiegato con i tappeti pelosi

Per capire cosa ci dice questo curioso teorema partiamo dal caso facile di un tappeto peloso: possiamo pettinarlo in tanti modi diversi, come nella figura sotto.

In questo caso la pettinatura in alto a destra e quella in basso a sinistra sono uniformi, senza bruschi cambi di direzione: ogni pelo ha quasi la stessa direzione dei peli che gli stanno vicino.  Al contrario, nel primo tappeto in alto a sinistra i peli sono pettinati da un punto verso l’esterno e alcuni peli intorno a quel punto vanno in direzioni opposte anche se sono molto vicini tra loro. Nel quarto tappeto, in basso a destra, invece si vede una specie di piccola radura centrale – quella che nei capelli chiameremmo una rosa – in cui non sembra esserci nessun pelo.

Con i tappeti possiamo realizzare un po’ tutte le pettinature che vogliamo, ma se proviamo a pettinare oggetti pelosi di forme diverse allora le cose si complicano.

Nella figura sopra, la ciambella a sinistra risulta ben pettinata in maniera uniforme, senza radure o altre cose strane. La palla, invece, presenta in alto una piccola radura: è possibile eliminarla cambiando pettinatura? In effetti no! Il teorema della palla pelosa, infatti, tradotto nel linguaggio delle "palle pelose" dice proprio che una pettinatura uniforme non può essere mai ottenuta su una palla: per quanto ci impegniamo ci ritroveremo sempre con qualche punto in cui si creano radure o altre cose strane.

Perché i matematici parlano di palle pelose? 

Ma davvero i matematici parlano di pettinare palle pelose e ciambelle pelose? In effetti usano questi termini come gergo colloquiale ma non si interessano all'oggetto "palla pelosa" in sé, bensì parlando di peli, si riferiscono al concetto matematico astratto di campo vettoriale. Vediamo brevemente di cosa si tratta.

La parola campo non si trova lì per caso. Se per esempio consideriamo un campo di grano, possiamo pensare a ogni pianta che spunta dal terreno come una freccia con una sua lunghezza e direzione: ogni punto del terreno ha una sua freccia, proprio come nell'immagine sotto in cui le piante sembrano pettinate per formare un disegno.

L’idea che in matematichese si esprime con il concetto di campo vettoriale, è proprio quella di attaccare ad ogni punto di un oggetto geometrico una freccia chiamata vettore.

Cosa significa "pettinare" i campi?

I matematici attaccano campi vettoriali a qualunque forma, ad esempio nella figura sotto abbiamo attaccato quattro diversi campi vettoriali ad una circonferenza, ma uno solo di questi riguarda il teorema della palla pelosa, quello continuo e tangente.

Detto in parole semplici

un campo vettoriale è continuo se non presenta cambiamenti bruschi tra frecce che si trovano vicine tra di loro, bensì i cambiamenti devono essere graduali.

Nell'immagine sopra, in alto a sinistra, se scorriamo le frecce lungo la circonferenza ci imbattiamo in repentini cambi di direzione, quindi non si tratta di un campo continuo. Nel secondo caso, in alto a destra, le direzioni cambiano in maniera graduale, ma vi sono alcuni bruschi cambiamenti di lunghezza: anche questo campo non è continuo. Nel caso in basso a sinistra, invece, assistiamo a cambiamenti graduali sia delle direzioni che delle lunghezze delle frecce: questo campo è continuo. Anche l’ultimo campo è continuo, ma le frecce sono tutte tangenti alla circonferenza, questo è quello che i matematici chiamerebbero pettinato. In sostanza abbiamo pettinato una circonferenza pelosa, ma non abbiamo smentito il teorema della palla pelosa visto che questa è una circonferenza, non una sfera.

Cosa c’entra il teorema della palla pelosa con i reattori nucleari?

Un’applicazione molto concreta di questo teorema riguarda costruzione dei reattori per la fusione nucleare controllata, come quello del progetto ITER. Senza andare troppo nel dettaglio, quando questi reattori sono in funzione contengono un plasma 10 volte più caldo del Sole, ma a quella temperatura il materiale di nessun contenitore potrebbe resistere. Le particelle del plasma, allora, vengono confinate usando dei campi magnetici che le costringono a muoversi in uno spazio chiuso senza che esse siano a contatto con alcun materiale. Se questi campi magnetici si annullassero, anche solo in un punto, il plasma potrebbe fuoriuscire: ma il teorema della palla pelosa ci dice che questo è esattamente quello che accadrebbe se si utilizzassero campi magnetici sferici.

Per questo motivo si preferiscono reattori a forma di ciambella, chiamati Tokamak: insomma, per la fusione nucleare una ciambella pelosa può essere meglio di una palla pelosa … e ce lo dice proprio il teorema della palla pelosa.

non perderti questo video

Il paradosso di Monty Hall: la spiegazione del gioco delle tre porte e il calcolo delle probabilità