Perché non è possibile dividere per zero: la spiegazione

Dividere per zero è impossibile. È uno dei punti saldi della matematica che si impara sin dalle elementari. Ma perché non si può fare? Chi ce lo vieta? E che succede se lo facciamo? In realtà non si tratta di un divieto, ma di un'operazione che non ha un risultato, e quindi non ha significato, in ambito aritmetico, al contrario di quanto accade nell’ambito del calcolo dei limiti, e con certe calcolatrici, dove questa operazione in qualche modo si può fare.

Perché è impossibile dividere per zero: la dimostrazione

In aritmetica la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, per cui calcolare 12 ÷ 4 significa trovare quel numero che moltiplicato per 4 fa 12.

Dal punto di vista pratico, se vogliamo dividere equamente 12 panini tra 4 persone, possiamo distribuire un panino ciascuno a turno ed alla fine ognuna delle 4 persone avrà 3 panini, e possiamo dire che 4 × 3 = 12. In altre parole quando scriviamo

12 ÷ 4 = 3

Stiamo anche dicendo che

4 × 3 = 12

e vice versa.

Ma allora cosa significa dividere per zero? Dal punto di vista pratico per dividere i 12 panini tra 0 (zero) persone, dovremmo dare 1 panino alla volta a ciascuna delle 0 persone coinvolte fino ad esaurire i 12 panini, ma poiché non c’è nessuno non riusciamo a distribuire nessun panino, è un'azione che proprio non riusciamo a fare.

Cosa succede invece se proviamo a calcolare 12 : 0 dal punto di vista aritmetico? Proviamo, non c'è nessuna legge che ce lo vieti.

Come abbiamo visto calcolare 12 ÷ 0 si significa trovare un numero che moltiplicato per zero dia 12, un risultato che possiamo chiamare x dato che non sappiamo quanto vale. In altre parole se

12 ÷ 0 = x

allora deve valere

0 × x = 12

ma, come tutti sappiamo, zero moltiplicato per qualunque numero dà come risultato zero: non potremo mai trovare un numero x che moltiplicato per 0 dia come risultato 12. Quindi il risultato della divisione 12 ÷ 0 non esiste, ma non è vietato cercarlo ci abbiamo appena provato e non è successo niente di grave. In sostanza quando si dice che

è impossibile dividere per zero

si intende dire che

se si prova a farlo non si può trovare un risultato perché non esiste.

È una specie di vicolo cieco matematico, non reato punibile con il carcere, tuttavia non è sempre così perché esistono rami della matematica, come il calcolo dei limiti, in cui dividere per zero acquista significato, come ben sanno alcune calcolatrici.

Dividere per zero nell’ambito del calcolo dei limiti si può

Se proviamo a calcolare 12 ÷ 0 con la calcolatrice possiamo ottenere, a seconda della calcolatrice che usiamo, messaggi di errore di vario tipo. Tuttavia alcune calcolatrici, tra cui la calcolatrice online di Google, invece di un messaggio di errore scrivono il risultato “∞”. In matematica il simbolo ∞ rappresenta l'infinito e non è un messaggio di errore, ma non è neanche un numero, quindi cosa intendono dirci queste calcolatrici quando scrivono 12 ÷ 0=∞?

Queste calcolatrici fanno riferimento al calcolo dei limiti, un ambito della matematica in cui non si considerano semplicemente numeri fissati, ma quantità in divenire. In questo contesto quando si calcola 12 ÷ 0 non si guarda allo 0 come un numero, bensì come ad una quantità infinitamente piccola che immaginiamo possa diventare sempre più piccola.

In pratica calcolare 12 ÷ 0 in questo ambito significa chiedersi

cosa succede se si divide 12 per sequenze di numeri sempre più piccoli?

Ad esempio possiamo dividere prima per 0.1, poi per 0.01, poi per 0.001, per 0.0001, e così via. Proviamo a farlo:

• 12 ÷ 0.1 = 120
• 12 ÷ 0.01 = 1200
• 12 ÷ 0.001 = 12000
• 12 ÷ 0.0001 = 120000
• …
• 12 ÷ 0.00000000000000000001 = 1200000000000000000000

Come possiamo vedere più piccolo è il divisore, il numero per cui dividiamo, e più grande è il risultato. Quando il divisore si avvicina a zero si dice che diventa infinitesimale e il risultato cresce indefinitamente: può essere visto come una quantità infinitamente grande. Usando il linguaggio dei limiti si dice che se il divisore tende a 0 allora il risultato tende ad ∞. In un certo senso, quindi, possiamo dire che ∞ è risultato della divisione 12 ÷ 0. Ma allora si può dividere per 0?

Dal punto di vista del calcolo dei limiti le calcolatrici che scrivono “∞” non sbagliano, ma attenzione, l’infinito in matematica non è un numero per cui in aritmetica, dove si parla proprio di numeri, 12 ÷ 0 continua a non avere un risultato perché ∞ non è un numero.

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