Trovare un accordo tra più persone? La matematica ci dice che non è così facile

Accordarsi tra amici è quasi impossibile, lo dice la matematica. Chi ha provato a mettere d’accordo un gruppo di persone sa che può essere un’impresa titanica e qualche volta addirittura impossibile. Ecco, grazie alla matematica è stato scoperto che le probabilità di accordarsi diminuiscono drasticamente all’aumentare del numero di persone coinvolte e della quantità di opzioni che ciascuno rifiuta. In particolare quando aumenta il numero delle persone coinvolte, oppure quando tuttirifiutano molte delle opzioni disponibili, allora la probabilità di trovare un accordo può crollare drasticamente, come dimostrato da uno studio della Case Western Reserve University e come possiamo vedere anche da esempi semplificati.

Cosa vuol dire trovare un accordo secondo la matematica

Quando dobbiamo metterci d’accordo possono entrare in gioco molte variabili, come il numero di persone, il numero di opzioni disponibili, e il numero di opzioni rifiutate da ciascuno tra quelle disponibili. Secondo quanto stabilito dai ricercatori della Case Western Reserve University, se le opzioni disponibili sono abbastanza numerose l’accordo si può sempre trovare, ma in altri casi può diventare molto difficile, e per sapere quanto può essere difficile hanno realizzato un complicato modello matematico (un insieme di formule) basato sul calcolo delle probabilità. In particolare i ricercatori hanno dimostrato che quando la percentuale di opzioni rifiutate da ciascuno è alta (ad esempio la metà o più), la probabilità di accordarsi non cala in modo graduale, ma crolla drasticamente all’aumentare del numero di persone. In altre parole la difficoltà di trovare un accordo dipende fortemente da come si combinano il numero di persone coinvolte e la percentuale di opzioni rifiutate da tutti, lo possiamo vedere con due esempi semplificati che non necessitano di formule complicate.

Più persone siamo e più è difficile accordarsi

Come è intuitivo pensare, più persone siamo e più è difficile accordarsi. Ma non è un'impressione, è proprio la probabilità a dircelo. Vediamolo con un esempio.

Accordarsi in 2 persone

Immaginiamo che 2 amici, Marco ed Elisa debbano scegliere se andare in vacanza al mare o in montagna e che che se uno dei due vuole andare al mare allora rifiuterà categoricamente di andare in montagna e viceversa, ovvero ciascuno rifiuta il 50% delle opzioni. In questo caso ci sono in tutto esattamente 4 casi possibili:

1. Marco vuole andare al mare mentre Elisa in montagna, quindi non possono accordarsi
2. Marco vuole andare al mare ed Elisa anche, quindi si accordano e vanno al mare
3. Marco vuole andare in montagna mentre Elisa al mare, quindi non possono accordarsi
4. Marco vuole andare in montagna ed Elisa anche, quindi si accordano e vanno in montagna.

In pratica, in 2 casi su 4 riescono a mettersi d’accordo (i casi 1 e 4 dell’immagine sopra), ovvero quando tutti e due scelgono montagna oppure quando tutti e due scelgono mare, con una probabilità del 50% di andare in vacanza insieme.

Accordarsi in 3 persone

Immaginiamo ora che al gruppo si aggiunga anche Luigi, vediamo come cambia lo scenario. Anche questa volta i 3 amici possono sperare riuscire ad andare in vacanza tutti insieme solo in due casi, ovvero quando tutti preferiscono la montagna oppure quando tutti preferiscono il mare. Se anche uno solo dei 3 ha una preferenza diversa allora non possono andare in vacanza insieme. Come si può vedere dall’immagine sotto i casi sono 8, il doppio rispetto a prima, ma quelli in cui i 3 amici si trovano tutti d’accordo rimangono 2, ovvero 2 su 8, con una probabilità del 25% di accordarsi sul tipo di vacanza.

Accordarsi in un gruppo di persone

Se si aggiunge un quarto amico il numero totale dei casi raddoppia ulteriormente, mentre i casi favorevoli rimangono 2 (quello in cui tutti vogliono andare in montagna e quello in cui tutti vogliono andare al mare), di conseguenza la probabilità di accordarsi sulla vacanza si dimezza rispetto al caso precedente, scendendo al 12.5%. In pratica più amici si aggiungono e più questa probabilità diminuisce, con 5 amici scende a 6.25% e da un certo punto in poi diventa molto vicina allo zero, ad esempio nel caso di 10 amici la probabilità che tutti vogliano andare in vacanza nello stesso posto scende allo 0.2%.

Più opzioni rifiutiamo e più è difficile accordarsi

Vediamo ora cosa succede quando il numero di persone rimane invariato ma aumenta la percentuale di opzioni rifiutate da tutti. Torniamo ai 2 amici Marco ed Elisa che questa volta devono scegliere tra 3 tipi di vacanza: vacanza al mare, vacanza in montagna, o vacanza in una città d'arte.

Accordarsi se rifiutiamo 1 opzione

Immaginiamo che i due amici non abbiano troppe esigenze e ciascuno rifiuti 1 sola opzione e accontentandosi di ben due opzioni, ad esempio mare e montagna, oppure montagna e città d'arte. In questo caso ciascuno rifiuta il 33% delle opzioni e se elenchiamo tutte le possibilità ci accorgiamo che in tutti i casi i due amici hanno sempre almeno una preferenza in comune (vedi figura sotto): la loro probabilità di trovare un accordo è quindi del 100%.

Accordarsi se rifiutiamo 2 opzioni

Le cose cambiano sensibilmente se ciascuno dei due amici accetta una sola opzione, ovvero rifiuta il 66% delle opzioni. In questo caso la probabilità di trovare un accordo scende al 33%.

Accordarsi se rifiutiamo più opzioni

In questo caso si assiste a un calo drastico delle probabilità di accordarsi all'aumentare della percentuale di opzioni rifiutate da tutti. Siamo riusciti a determinare questo calo avvalendoci di uno schema, tuttavia nel caso in cui sia le persone coinvolte che le opzioni disponibili fossero molte non sarebbe più possibile risolvere il problema con un semplice schema come abbiamo fatto noi, ma i ricercatori della Case Western Reserve University hanno stabilità che la probabilità di trovare un accordo può comunque essere calcolata ed hanno elaborato delle complicate formule tramite le quali si può effettuare il calcolo.

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