Immaginiamo un gruppo di 23 persone: qual è la probabilità che due persone, all'interno del gruppo, festeggino il compleanno nello stesso giorno? La risposta a questa domanda è abbastanza sorprendete, tanto da prendere il nome di paradosso del compleanno. Questo paradosso venne pubblicato nel 1939 da un matematico statunitense, Richard von Mises, e si basa sul calcolo della probabilità di avere due persone nate nelle stesso giorno in un gruppo di individui.
Cosa afferma il paradosso del compleanno
A istinto si tende a ipotizzare che la probabilità sia piuttosto scarsa, essendoci 365 giorni in un anno. In realtà non è così: la probabilità di avere due persone nate lo stesso giorno (una "collisione" in gergo tecnico statistico) è leggermente superiore al 50%!
In un gruppo composto da 30 persone la probabilità sale al 70% e con 75 persone si raggiunge addirittura il 99,97%.
Ma come è possibile che se 23 giorni su 365 rappresentino solo il 6% circa dei giorni dell'anno si abbia una probabilità di collisione così alta?
La spiegazione del paradosso
Per comprendere il paradosso del compleanno dobbiamo capire bene qual è la richiesta: trovare la probabilità che in un gruppo di tot persone ci sia almeno una coppia di persone che condivide lo stesso compleanno. Per prima cosa, quindi, bisogna calcolare il numero di coppie possibili in un gruppo di persone. Partiamo dal caso più semplice: con 2 persone si ha soltanto 1 coppia. Salendo a 3 persone (chiamiamole A, B e C) si hanno 3 coppie: AB, BC e AC (l'ordine in questo caso non conta: per esempio, AB e BA sono la stessa coppia). Con 4 persone (A, B, C, D) si hanno 6 coppie: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Con 5 persone abbiamo 10 coppie, con 6 persone abbiamo 15 coppie e così via.
Quello che salta all'occhio è che aumentando il numero di persone in un gruppo aumenta molto rapidamente il numero di coppie. Con 23 persone abbiamo ben 253 coppie possibili. Ed è in questo bacino di 253 coppie che va ricercata la probabilità che una di queste sia formata da persone che sono nate nello stesso giorno. Pertanto quello che accade è che al crescere del numero di persone aumenta molto rapidamente (più di quanto instintivamente siamo portati a credere) la probabilità che almeno una persona “collida” con un'altra, condividendo la stessa data di nascita.
La tabella seguente mostra le probabilità di collisione in funzione del numero di persone che compongono un gruppo.
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